Übersicht über Lektion 12

In dieser Lektion geht es um ein neues Thema aus dem großen Teilgebiet der Mathematik "Vektorrechnung", nämlich: "Ebenengleichung in der Normalenform". Hierzu zunächst eine Wiederholung einiger Sachverhalte aus vergangenen Lektionen.

Punkt-Steigungs-Form einer Geraden in einer Ebene

Steigungsdreieck: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Der y- Achsenabschnitt t soll -2 sein, also der erste Punkt P₁ der Geraden soll auf der y- Achse mit den Koordinaten 0 und -2 liegen und der Steigungsfaktor m soll den Wert 2/3 besitzen. Somit kann das Steigungsdreieck im Punkt P₁ angesetzt werden, indem wir von P₁ aus den Nenner 3 vom Bruch 2/3 in x -Achsenrichtung wandern und den Zähler 2 von 2/3 in y -Achsenrichtung. Wir erreichen dadurch den zweiten Punkt der Geraden P₂. Da jede Gerade durch zwei Punkte festgelegt ist, können wir die Gerade g einzeichnen.

Kartesische Normalform

Kartesische Normalform

Die Geradengleichung kann in der Form  y = 2/3  x - 2 dargestellt werden.
Allgemein kann jede Gerade im zweidimensionalen Bereich auf die Form    y = m  x + t, und somit sofort in einem kartesischen Koordinatensystem zeichnerisch ausführbar, umgeformt werden.
Man bezeichnet diese Form der Darstellung einer Geraden auch als "kartesische Normalform".
Die Achsen, die in unserem Beispiel mit x und y bezeichnet sind, könnten genau so mit x₁ und x₂ benannt sein.

Die Lage der Geraden ändert sich nicht - klicken Sie bitte auf die Lupe.

An der Lage der Geraden ändert sich hierbei nichts, es steht nur statt x die Achsenbezeichnung x₁ und statt y die Achsenbezeichnung x₂, was für die kartesische Normalform der Geraden die neue Form  x₂ = m . x₁ + t  zur Folge hat.

Unsere Gerade könnten wir auch in der ihnen ebenfalls bereits bekannten Punktrichtungsform mit Ortsvektor und Richtungsvektor angeben.

Parameterform einer Geradengleichung: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Der Ortsvektor, also ein Vektor, der vom Koordinatenursprung ausgeht, 0 und -2 führt zum ersten Punkt der Geraden (0/-2). Von diesem Punkt, lassen wir ihm die Bezeichnung P₁, führt der Richtungsvektor 3 und 2 zum Punkt P₂ der Geraden.

Jetzt könnten wir wieder sagen, zwei Punkte legen eine Gerade fest, und alles wäre erledigt. Wir könnten es aber auch so deuten, dass wir den Richtungsvektor 3 und 2 beliebig oft aneinander anhängen und somit eine Gerade ohne Anfangs- und Endpunkt erhalten.

Darstellung in der Gleichung:

x ist Ortsvektor 0, -2 plus Lambda mal Richtungsvektor 3, 2 . Wobei Lambda für das beliebige Vielfache steht.
Diese Form der Geradendarstellung ist ihnen auch als Parameterform einer Geradengleichung bekannt. Lässt sich diese Parameterform in eine Normalform umwandeln?

Umwandlung in eine Normalform

Parameterform in zwei Gleichungen aufgespalten - Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Die Parameterform kann in zwei Gleichungen aufgespalten werden: x₁ = 0 + 3 Lamda und x₂ = -2 + 2 Lamda. Der Parameter Lamda muss in dem entstandenen Gleichungssystem eliminiert werden. Dies können wir über die Anwendung unseres Additionsverfahrens erreichen.

Weitere Umwandlung: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Multiplizieren wir die Gleichung I mit 2 und die Gleichung II mit 3 ergeben sich neue Gleichungen mit 2x₁ ist 0 plus 6 Lamda und 3x₂ ist -6 plus 6 Lamda. Die beiden neu entstandenen Gleichungen voneinander subtrahiert ergeben 2x₁ minus 3x₂ ist 6.
Und somit die allgemeine Geradengleichung 2x₁ minus 3x₂ minus 6 ist Null.

Interessant für uns daran ist, dass die Koeffizienten von x₁ und x₂ einen Vektor 2, -3 bilden, der auf unserer Geraden mit dem Richtungsvektor 3, 2 senkrecht steht, was das Skalarprodukt beweist.

Vektor 2, -3 mal Vektor 3, 2 gibt 2 mal 3 plus (-3) mal 2 ist 6 minus 6 gleich Null.

Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Also: Sie stehen senkrecht aufeinander. Aus diesem Ergebnis lernen wir, dass mit dem senkrechten Vektor, dem uns bekannten Normalenvektor n und einem Punkt, der auf der Geraden liegt, ebenfalls eine eindeutige Gerade in der Ebene festgelegt ist. Merken Sie sich das für später.

Der Normalenvektor n mit 2 und -3 kann in jedem beliebigen Punkt des Koordinatensystems angelegt werden. Verschieben wir den Vektor n zum Anfangspunkt P₁ mit 0 und -2, so gibt die Senkrechte zu n in P₁ die Gerade g an.

Die Beschreibung der Geraden mittels des Normalenvektors n wird als vektorielle Normalenform bezeichnet.

n mal in Klammern Vektor x minus Ortsvektor a eines Punktes der Geraden gleich Null.  
Für unser Beispiel Vektor 2, (-3) mal Klammer auf Vektor x₁, x₂ minus Ortsvektor 0, (-2), Klammer zu, gleich Null.

Durch Berechnung können wir nachweisen, dass diese parameterfreie vektorielle Normalenform identisch ist mit der allgemeinen Koordinatenform unserer Geraden.

2 mal x₁ minus 3 mal x₂ minus 6 gleich Null.

Darstellung von Geraden im dreidimensionalen Raum

Wir stellen fest, dass es verschiedene eindeutige Möglichkeiten zur Darstellung von Geraden im zweidimensionalen Bereich gibt. Wie sieht es aber im dreidimensionalen Raum aus?

Gibt es hier auch diese eindeutige Darstellung für Geradengleichungen? Es gibt sehr wohl die Punkt-Richtungs-Form mit Ortsvektor und Richtungsvektor, womit Sie ja bereits in früheren Lektionen gearbeitet haben. Es existiert auch die allgemeine Koordinatenform. Aber lässt sich mit dem Normalenvektor und einem festen Punkt mit Ortsvektor eindeutig eine Gerade festlegen?

Ein gegebener Normalvektor n wird im Raum an einem Punkt in Bezug auf unser räumliches Koordinatensystem fixiert. Alle möglichen senkrechten Geraden zum Vektor n liegen dann in einer Ebene, die sich in unserem angedeuteten Raum befindet.

Dies bedeutet, dass mit einem Normalenvektor und einem Anfangspunkt sich nur eindeutig eine Ebene im Raum beschreiben lässt, in welcher der angenommene Anfangspunkt liegt.

Die Darstellung der jeweiligen Ebenengleichung aus dem Ortsvektor eines Anfangspunktes, oftmals in der Literatur auch als "Stützvektor" bezeichnet, und den beiden Richtungsvektoren, die vom gegebenen Anfangspunkt ausgehen, ist ihnen bekannt. Jetzt natürlich umso mehr, da sie meine Fliegen Max, Olga und Fritz virtuell vor Auge haben. Und die lassen wir jetzt noch mal für ein festes Beispiel starten.

Die drei Punkte legen eine Ebene fest, die sie in der Parameterform bereits darstellen können.

Vektor x ist Ortsvektor 5, 3, 2, also der Standort von Olga plus ein Vielfaches, hier ..., mal dem Richtungsvektor von Max mit -2, 4, 1 plus ein Vielfaches, hier µ, mal dem Richtungsvektor von Fritz mit 3, 2 und 0.

Aus der jetzt entstandenen Parameterform kann man durch Eliminierung der Parameter λ und µ eine Koordinatenform der Ebenengleichung erzeugen, die auch als lineare Normalenform der Ebene bezeichnet wird. Es geschieht am einfachsten durch mehrmalige Anwendung des Additionsverfahrens. Und führt zu der λ und µ - freien Form 2x₁ minus 3x₂ plus 16x₃ minus 33 ist gleich Null.

Jetzt lassen wir noch unsere vierte Fliege Sophie starten.

Da wir die Koordinatenform der Ebene kennen, ist es für uns jetzt ein leichtes, nachzuprüfen, ob der Punkt mit den Koordinaten 0,5 und 3 ein Element der Ebene ist. Führen die Werte in die Ebenengleichung eingesetzt zu einer wahren Aussage, so liegt der Standpunkt von Sophie in der Ebene.
Also los, 0,5 und 3 eingesetzt:

2 mal 0 für x₁ minus 3 mal 5 für x₂ plus 16 mal 3 für x₃ minus 33 soll Null sein?
-15 + 48 - 33 = 0 ist eine wahre Aussage.

Sophie hat die Ebene, welche ihre Freunde bilden, getroffen. Eine weitere eindeutige Beschreibung von Ebenen im Raum erfolgt über den Normalenvektor und einen festen Punkt einer Ebene. Schauen wir nun dazu noch mal unsere Ebene an.

In jedem Punkt der Ebene, also sowohl über Olga, Fritz, Max oder Sophie, aber auch über jedem weiteren Punkt der Ebene kann ein senkrecht auf der Ebene stehender Vektor gesetzt werden.

In der letzten Sendung haben wir gelernt, dass das Vektorprodukt aus zwei Vektoren den auf beiden Vektoren senkrecht stehenden Vektor ergibt. Diesen orthogonalen Vektor bezeichnet man als Normalenvektor n. Für unsere Ebene ausgedrückt:

Die Richtungsvektoren unserer Fliegenebene bildeten Max mit
-2, 4 und 1 sowie Fritz mit 3, 2 uns 0.

Berechnung - Klicken Sie bitte auf die Lupe

Mit der Formel aus der Formelsammlung ergibt sich für unseren Fall Vektor -2, 4, 1 kreuz Vektor 3, 2, 0 gleich a₂ mit 4 mal b₃ mit 0, minus a₃ mit 1 mal b₂ mit 2, dann als zweite Zeile a₃ mit 1 mal b₁ mit 3 minus a₁ mit (-2) mal b₃ mit 0 und als dritte Zeile a₁ mit (-2) mal b₂ mit 2 minus a₂ mit 4 mal b₁ mit 3. Der senkrechte Normalenvektor hat die Koordinaten -2, 3 und -16.

Wer bisher gut aufgepasst hat, müsste jetzt erstaunt sein, denn bei der Geradengleichung haben die Koeffizienten von x₁ und x₂ den senkrechten Vektor auf der Geraden angegeben. Ebenso müssen die Koeffizienten von x₁, x₂ und x₃ bei der Koordinatenform der Ebene den senkrechen Vektor auf der Ebene angeben. Die Koeffizienten sind aber, wenn wir die heute ermittelte Ebenengleichung betrachten, 2, (-3) und 16.

Wir sehen sofort, dass die beiden Vektoren -2, 3, -16 und 2, -3, 16 Gegenvektoren zueinander sind. Es stehen also beide auf unserer Ebene senkrecht. Wir können demnach beide zur Aufstellung der vektoriellen Normalenform der Ebene verwenden.

Von den Geraden her wissen wir noch die Gleichung der vektoriellen Normalenform mit Vektor n mal Vektor x minus Vektor a in Klammern gleich Null. Wir wollen noch einmal zusammenfassen, was wir an Darstellungsformen für Ebenen im Raum gefunden haben.

1. Parameterform

Parameterform

Die erste Darstellungsform ist die Parameterform der Ebene aus einem Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren. Bei drei Punkten A, B, und C kann man dabei zum Beispiel die Koordinaten von Punkt A als Ortsvektor a wählen und die Differenzvektoren aus den Ortsvektoren der Punkte B und C mit A als Richtungsvektoren.

2. Vektorielle Normalenform

Vektorielle Normalenform

Als zweite Darstellungsform gibt es dann die vektorielle Normalenform mit Normalenvektor n aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren u und v der Ebene mal der Differenz aus dem Vektor x und dem Ortsvektor a  eines beliebigen Punktes der Ebene.

3. Lineare Normalenform

Lineare Normalenform

Die dritte Darstellungsform, die lineare Normalenform der Ebene, lässt sich sowohl aus der vektoriellen Normalenform als auch aus der Parameterform der Ebene gewinnen. n₁ mal x₁ plus n₂ mal x₂ plus n₃ mal x₃ plus n0 ist 0. Welche der drei Formen für welchen Aufgabentyp verwendet wird, können Sie selbst entscheiden. Sie finden in Ihrem Buchmaterial genügend Beispiele dazu.

Man kann mit der linearen Normalenform auf ganz einfache Art und Weise den Abstand von Punkten außerhalb einer Ebene zur Ebene bestimmen. Es wird dazu die lineare Normalenform umgewandelt in die Hesse'sche Normalenform.

Anwendungsbeispiel - klicken Sie bitte auf die Lupe

Wir wollen den Abstand des Punktes P (1; 2; 3) von der Ebene e mit -2x₁ -x₂ +2x₃ +4=0 bestimmen.
Lassen sie sich nun einfach mal führen. Nach den Forschungen von Herrn Hesse muss das konstante Glied negativ sein. Das erreichen wir durch die Multiplikation der Gleichung mit (-1).
Die neue Gleichung lautet 2x₁ plus x₂ minus 2x₃ minus 4 gleich Null.

Als nächstes muss die Gleichung mit dem Betrag des Normalenvektors dividiert werden. Der Normalenvektor n ist 2, 1 und -2 aus den Koeffizienten von x₁, x₂ und x₃. Der Betrag davon ist die Wurzel aus 22 plus 12 plus (-2)2.
Wurzel aus 4 plus 1 plus 4 ist 9, also gleich 3.

Jetzt teilen wir die lineare Normalenform der Ebene mit negativem konstanten Glied durch den Betrag des Normalenvektors der Ebene und erhalten die Hesse'sche Normalenform.

Um den Abstand des Punktes P (1; 2; 3) oder auch jedes anderen beliebigen Punktes außerhalb der Ebene zur Ebene ermitteln zu können, müssen nur noch die Koordinaten des jeweiligen Punktes in den Linksterm der Gleichung eingesetzt werden.

Für unser Beispiel:

Berechnung

Der Abstand d des Punktes P zur Ebene e ist der Betrag aus 2 mal 1 für x₁ plus 2 für x₂ minus 2 mal 3 für x₃ minus 4 geteilt durch 3. Es ergibt sich der Abstand mit 2 Längeneinheiten.

Die komplette Sendung sehen Sie oben als Video - klicken Sie bitte auf den Pfeil.