Mathematik Der Begriff des Vektors
In der ersten Lektion zum Thema "Vektoren und Matrizen" geht es um den Begriff des Vektors, der Ihnen sicher bei physikalischen Fragestellungen schon einmal begegnet ist. Wie geht die Mathematik damit um?
In der Physik unterscheidet man zwischen gerichteten Größen und nicht gerichteten Größen. Gerichtete Größen sind zum Beispiel Wege, Geschwindigkeiten, Kräfte, Feldstärken. Solche Größen sind vektorielle Größen. Nicht gerichtete Größen nennt man auch skalare Größen oder Skalare. Beispiele dafür sind Massen, Wärmemengen, Zeitspannen. Näheres dazu finden Sie in jedem Physikbuch. In der Mathematik verwendet man den Begriff des Vektors und des Skalars verallgemeinert. Skalare sind zum Beispiel die reellen Zahlen, mit denen Sie bisher schon gerechnet haben.
Übersicht über Lektion 7
7.1 Verschiebungen
Ein erstes Beispiel für Vektoren sind die Verschiebungen im Raum. Bei Verschiebungen muss man die Länge und die Richtung der Verschiebung angeben. Zur Darstellung verwendet man Pfeile. Man kann mehrere Verschiebungen nacheinander ausführen. Dies ist ein Beispiel für die Addition von Vektoren.
7.2 Geschwindigkeiten
Auch die Geschwindigkeiten sind ein Beispiel für Vektoren. Sind zwei Geschwindigkeiten gleich gerichtet, aber von unterschiedlichem Betrag, so kann man die eine als ein Vielfaches der anderen schreiben. Sind zwei Geschwindigkeiten von gleichem Betrag, aber entgegengesetzt gerichtet, so stellt die eine den Gegenvektor der anderen dar. Die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors ist der Nullvektor. Auch Geschwindigkeiten lassen sich zusammensetzen.
7.3 Addition von Vektoren
Allgemein werden Vektoren addiert, indem man die Pfeile der Vektoren aneinanderhängt. Diese Addition lässt sich für beliebig viele Vektoren ausführen. Eine Summe von Vektoren kann auch den Nullvektor ergeben. Man spricht dann von einem geschlossenen Vektorzug.
7.4 Subtraktion von Vektoren
Die Subtraktion von Vektoren ist die Gegenoperation zur Addition. Ein Vektor wird subtrahiert, indem man seinen Gegenvektor addiert. Mit der Vektorsubtraktion kann man Vektorengleichungen der Art wie in nebenstehendem Bild lösen. In geometrischen Figuren lassen sich oft Vektoren als Summe oder Differenz einiger vorgegebener Vektoren schreiben.
7.5 S-Multiplikation
Einen Vektor kann man mit einer Zahl, einem Skalar, multiplizieren. Man nennt diese Produktbildung S-Multiplikation. Das Produkt aus einer Zahl und einem Vektor ist wieder ein Vektor. Ein Produkt zweier Vektoren ist hier noch nicht erklärt. Durch einen Vektor kann man nicht dividieren.
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