1. Aufgabe:

Gegeben ist die Randfunktion f(x) = x hoch 3

Gegeben ist die Randfunktion f(x) = x³ ; durch Integrieren soll der Flächeninhalt von x = 2 bis x = 4 bestimmt werden. Zur Lösung verwenden wir eine Stammfunktion ohne den Summanden c, da ja beliebige Stammfunktionen eingesetzt werden können.

So sieht die Lösung aus.

Der Ansatz lautet: ₂∫⁴ x³dx = x⁴/4 |₂⁴ (|₂⁴ bedeutet „in den Grenzen von 2 bis 4“). Die obere Grenze 4 in x⁴/4 eingesetzt ergibt 4⁴/4 = 256/4 = 64; die untere Grenze 2 in x⁴/4 eingesetzt ergibt 2⁴/4 = 16/4 = 4 ; Die Lösung lautet dann ₂∫⁴ x³dx = 64 - 4 = 60.

2. Aufgabe:

Die nächste Funktion lautet f(x) = x² + 2x

Die nächste Funktion besteht aus einen quadratischen und einem linearen Glied und lautet f(x) = x² + 2x . Die Grenzen des Integrals sind 6 und 3.

So sieht die Lösung aus.

Der Ansatz lautet diesmal: ₃∫⁶(x³+2x)dx = x³/3 + x² |₃⁶; Die obere Grenze 6 in x³/3 + x² eingesetzt ergibt 6³/3 + 6² = 216/3 + 36 = 108; die untere Grenze 3 in x³/3 + x² eingesetzt ergibt 3³/3 + 3² = 27/3 + 9 = 18; Die Lösung lautet dann ₃∫⁶(x³+2x)dx = 108 - 18 = 90.

3. Aufgabe:

Die Randfunktion lautet f(x) = x² + 5 , die Grenzen des Integrals sind 1 und 3.

Die Randfunktion lautet diesmal f(x) = x² + 5, die Grenzen des Integrals sind 1 und 3. Der Ansatz lautet dann: ₃∫⁶(x²+5)dx = x³/3 + 5x |₁³; Die obere Grenze 3 in x³/3 + 5x eingesetzt ergibt 3³/3 + 5·3 = 27/3 + 15 = 24; die untere Grenze 1 in x³/3 + 5x eingesetzt ergibt 1³/3 + 5 = 1/3 + 5 = 16/3.

Die Lösung lautet dann ₃∫⁶(x²+5)dx = 24 - 16/3 = 56/3 = 18+2/3.

Kann man auch eine Stammfunktion mit dem Summanden c verwenden?

Zum Schluss der Sendung wird die Frage aufgeworfen, ob die Anwendung einer Stammfunktion mit dem Summanden c, also z. B. ₂∫⁴ x³dx = x⁴/4 + c, zu den gleichen Ergebnissen geführt hätte. Setzt man c in die Rechnung ein, so zeigt sich, dass beim Subtrahieren der unteren von der oberen Grenze c verschwindet, d. h. es ist gleichwertig, ob man eine Stammfunktion mit oder ohne den Summanden c auswählt.