Extremwertaufgaben 1 Praktisches Beispiel: Pappschachteln
Gleich zu Beginn gibt es ein praktisches Beispiel, an dem wir die Extremwertbestimmung üben können: Aus verschiedenen Pappschachteln soll die mit dem größten Volumen herausgefunden werden.
Thema der Lektion ist die Analyse von Sachproblemen, die mathematisch als Extremwertaufgaben, genauer als Optimierungsaufgaben erfasst und gelöst werden.
Welche Abmessungen muss die Schachtel haben?
Zu Beginn erhalten wir Einblick in das Designbüro einer Fabrik für Pappschachteln. Es werden verschiedene Musterschachteln aus immer gleich großen Pappebögen von 5 dm x 8 dm Abmessung geschnitten und gefaltet.
Gesucht: Die Schachtel mit dem größten Volumen
Tabelle mit den Abmessungen und Volumina der verschiedenen Musterschachteln
Die Schachtel mit dem größten Volumen soll dann in Serienfertigung gehen. In eine Tabelle werden die Abmessungen der Musterschachteln der dazugehörigen Volumina erfasst. Ist aber bei den Musterschachteln auch die mit dem größten Volumen?
Wovon hängt das Volumen der Schachtel ab?
Vom welchen Maßen hängt das Volumen der Schachtel ab?
Im Studio wird an einer Skizze erklärt, wovon das Volumen der Schachtel bei gegebenen Maßen des Pappebogens abhängt. An jeder der vier Ecken wird auf eine Länge x eingeschnitten und das Pappequadrat mit der Seitenlänge x an der zweiten Strecke x um 90 Grad geknickt. Anschließend werden die verbliebenen Rechtecke mit den Seiten 8 dm – 2x bzw. 5 dm – 2x hochgebogen und mit den Pappequadraten verklebt.
Das Volumen V wird durch die Größe x bestimmt.
Das Volumen V der Schachtel errechnet sich aus dem Produkt V = (8 – 2x)(5 – 2x)x. V ist also eine Funktion von x und von dieser Funktion soll das Maximum berechnet werden.
Die Regeln dafür wurden bereits in Lektion 22 erarbeitet:
Regeln für die Extremwertbestimmung
Regeln für die Extremwertbestimmung
Man bildet die erste Ableitung V’(x) und setzt sie gleich Null. Gibt es mehrere Lösungen, so entscheidet die 2. Ableitung. Ist sie an dem errechneten Punkt kleiner als Null, so handelt es sich um ein Maximum.
Weitere Berechnung
Die Volumenfunktion mit ihrer 1. und 2. Ableitung
Ausmultipliziert ergibt sich V(x) = 40x – 26 x2 + 4x3 . Differenziert man diese Funktion, so erhält man V’(x) = 40 – 52 x + 12x2. Die 2. Ableitung, die wir später für die Charakterisierung der berechneten Extremwerte benötigen, lautet V’’(x) = -52 + 24x .
Lösen der quadratischen Gleichung für die Nullstellen der 1. Ableitung
Die Berechnung der Nullstellen der 1. Ableitung erfolgt in einer Nebenrechnung. Man erhält x1 = 10/3 und x2 = 1 . x1 = 10/3 scheidet als Lösung aus, da bei einer Kantenlänge des Pappebogens von 5 dm 2x jedenfalls weniger als 5dm, x weniger als 2,5 dm betragen muss. Die Lösung lautet also x = 1 dm. Ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, lässt sich mir der 2. Ableitung prüfen. Setzt man x = 1 in die Funktionsgleichung V’’(x) = -52 + 24x, so ergibt sich V’'(x) = -28, V’(x) ist negativ, also gehört x zu einem Maximum. x in die ursprüngliche Funktionsgleichung V(x) = 40x – 26 x2 + 4x3 eingesetzt ergibt Vmax = 18 dm3.
Vergleich mit dem Funktionsgraphen
Graph der Volumenfunktion mit dem Maximum bei 1/18
Ein Vergleich mit dem am Computerbildschirm ausgedruckten Funktionsgraphen zeigt, dass es sich bei dem berechneten P(1/18) tatsächlich um das einzige Maximum handelt. Der grün unterlegte Bereich ist der der sinnvoll anwendbaren Werte von x .
Die optimale Schachtel mit V = 18 dm hoch 3
Die Schachtel mit den Maßen 6 x 3 x 1 dm3 ist also die gesuchte mit dem größtmöglichen Volumen.