Bei dem abgewandelten Versuch ist die Strömungsstärke nicht mehr konstant.

In einem abgewandelten Versuch ist nun die Strömungsstärke innerhalb der Beobachtungszeit nicht mehr konstant. Wie das Diagramm zeigt, steigt sie zunächst an, erreicht ein Maximum, und nimmt dann wieder ab. Um die Strömungsstärke f(x₀) zu einem Zeitpunkt x₀ zu berechnen, könnte man wieder die Rechtecksfläche über dem Intervall x₀ mit der Höhe f(x₀) berechnen. Allerdings entstände dann ein beträchtlicher Fehler, weil die (im Diagramm grün gefärbte) Fläche unter dem gekrümmten Graphen unberücksichtigt bliebe.

Der Differentialquotient

Die momentane Strömungsstärke bei xo ist die Ableitung der Funktion Fo(x).

Lassen wir nun aber das Intervall Δx beliebig klein werden, d.h. Δx -> 0, so erhalten wir den Grenzwert lim [F₀(x₀ + Δx) - F₀(x₀)]/Δx = f(x₀). Dieser Grenzwert eines Differenzenquotienten ist als Differentialquotient bzw. als Ableitung der Funktion F(x₀) bekannt.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Das Differenzieren ist die Umkehrung des Integrierens bzw. das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens.

In der vorhergehenden Lektion haben wir, wie die Zusammenstellung nochmals zeigt, aus der Funktion "Strömungsstärke mal Zeiteinheit " durch Integrieren das transportierte Wasservolumen berechnet, diesmal bestimmen wir umgekehrt durch Differenzieren der Funktion "Fläche" bzw. "Volumen" die Strömungsstärke. Das Differenzieren ist also offensichtlich die Umkehrung des Integrierens bzw. das Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens. (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.)

Die Ableitung der Funktion Fa(x) ist die Funktion f(x).

Was bedeutet das in der Praxis? Betrachten wir dazu den Graphen einer Funktion f. Das Integral von a bis x, also die Funktion F_a(x) bzw. die Fläche unter dem Abschnitt des Graphen von a bis x, ist demnach eine differenzierbare Funktion. Ihre 1. Ableitung ergibt wieder die Funktion f, F_a’= f .