GRIPS Mathe 41 Der Zentralwert
Welche Bedeutung hat der Zentralwert?
Was der Zentralwert genau aussagt, dazu hier ein Beispiel:
Ein Sportgeschäft bietet unterschiedliche Snowboards in fünf verschiedenen Preisklassen an:
| Preisklasse | 1 | 2 | 3 | 4 | exklusiv |
|---|---|---|---|---|---|
| Preise in € | 199 | 249 | 399 | 499 | 2199 |
Wie hoch ist der durchschnittliche Preis für ein Snowboard?
Auf der vorherigen Seite hast du gesehen, wie du das arithmetische Mittel, also den Durchschnittswert berechnest. Daher wollen wir diesen Rechenschritt zunächst auch hier anwenden:
1. Lösungsmöglichkeit: Arithmetisches Mittel
Mit Hilfe des arithmetischen Mittels kannst du den Durchschnittspreis berechnen:
199 €
+ 249 €
+ 399 €
+ 499 €
+ 2199 €
-----------
3545 €
3545 € : 5 = 709 €
Der Durchschnittspreis liegt deutlich über dem Preis der ersten vier Snowboards und ist weit vom Preis des Exklusivmodells entfernt.
Da die Spannweite der Werte sehr hoch ist, das heißt die Einzelwerte stark voneinander abweichen, ist das arithmetische Mittel hier ungeeignet! Denn so entsteht ein falscher Eindruck von den durchschnittlichen Snowboardpreisen.
Bei Datensätzen, deren Einzelwerte zum Teil deutlich voneinander abweichen, verwendet man in der Statistik daher einen anderen Wert, den so genannten Zentralwert.
2. Lösungsmöglichkeit: Zentralwert
Wie der Name schon vermuten lässt, liegt der Zentralwert genau im Zentrum, also in der Mitte eines Datensatzes. Das bedeutet über und unter dem Zentralwert liegt eine gleich große Anzahl von Werten.
Den Zentralwert kannst du in zwei Schritten ermitteln:
1. Zuerst sortierst du die Werte der Größe nach. Du stellst also eine Rangliste auf.
2. Der Wert, der genau in der Mitte liegt, ist der Zentralwert.
Bei einem ungeraden Datensatz ist die Festlegung der Mitte kein Problem (hier: 399 €).
Wie sieht es aber bei einem geraden Datensatz aus? Denn bei einem geraden Datensatz stehen zwei Werte in der Mitte.
In diesem Fall gehst du so vor:
Du wählst die beiden Werte in der Mitte aus und addierst sie
(249 € + 399 €).
Anschließend bildest du aus diesen beiden Werten den Mittelwert.
Ergebnis: Der Zentralwert für das Snowboardmodell liegt bei 324 €.
Wenn du dir die Tabelle oben ansiehst, stellst du fest, dass der Zentralwert des Snowboards mit 324 € (im Gegensatz zum arithmetischen Mittel mit 709 €) relativ nah an den unteren vier Snowboardpeisen liegt.
Der Zentralwert ist also geeignet, extreme Werte in einer Datenreihe auszugleichen, die das arithmetisch Mittel verfälschen würde.
So berechnest du den Zentralwert
Rangliste: Im ersten Schritt ordnest du die Daten der Größe nach in einer Rangliste.
Ungerade Anzahl: Bei einer ungeraden Anzahl an Werten ist es klar, welches der mittlere Wert ist.
Gerade Anzahl: Bei einer geraden Anzahl an Werten, addierst du die beiden in der Mitte liegenden Werte und bildest aus dieser Summe den Mittelwert.