Kurvendiskussion 2 Charakteristik von Extrempunkten
Zunächst erarbeiten wir uns Regeln, mit denen wir das lokale Maximum und Minimum charakterisieren können.
Zu Beginn des Beitrags soll die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = (1/3)x3 – 3x2 + 8x – 2, die schon in der vorhergehenden Sendung eingeführt wurde, weiter untersucht werden.
Ihre Ableitungsfunktion mit der Funktionsgleichung x2 – 6x + 8 = 0 weist zwei Nullstellen auf, an denen die ursprüngliche Funktion also waagrechte Tangenten aufweist. Hier liegen die Extrempunkte E1 und E2 mit den Koordinaten E1(4/3,3) und E2(2/4,7). Vergleichen Sie dazu oben stehende Abbildung. Zeichnet man nun in ein Koordinatensystem den Graph der Funktion f(x) = (1/3)x3 – 3x2 + 8x – 2 und die Punkte E1 und E2, so ist leicht zu erkennen, dass E2 das Maximum und E1 das Minimum der Funktion kennzeichnet.
Die Charakteristik der Extrempunkte kann durch Analysieren der Nullstellen der Ableitungsfunktion ermittelt werden.
Es stellt sich nun die Frage, ob man die Charakteristik dieser Extrempunkte, also Hoch- oder Tiefpunkt, auch ohne Darstellung des Graphen rechnerisch ermitteln kann. Zunächst wird E2 als lokales Maximum und E1 als lokales Minimum charakterisiert. Um die beiden Extrempunkte zu charakterisieren, wird nun die Ableitungsfunktion f’(x) = x2 – 6x + 8 = 0 betrachtet. Es handelt sich um eine nach oben offene Parabel mit den Nullpunkten bei x1 = 4 und x2 = 2, die also den x-Werten der Extrempunkte entsprechen. Die Umgebung von x2 lässt sich folgendermaßen charakterisieren: f ’(x) > 0 für x < x2, f ’(x) = 0 für x = x2 und f ’(x) < 0 für x > x2. D.h., die Ableitungsfunktion f ’(x) macht an der Stelle x2 einen Vorzeichenwechsel durch. Damit ist das lokale Maximum bei x2 mathematisch vollständig charakterisiert.
Die Charakteristik der Extrempunkte kann auch durch die Tangente in x2 ermittelt werden.
Neben der Aufstellung dieser Ungleichungen gibt es aber auch einen einfacheren Weg um das lokale Maximum zu charakterisieren. Legt man die Tangente in x2 an den Graphen der Ableitungsfunktion, so ist sie dort fallend.
D.h., die Ableitung der Ableitungsfunktion, nämlich f’’(x), ist an dieser Stelle negativ.
Kennzeichen des lokalen Maximums
D.h., gilt f’(x0) = 0 und f’’(x0) < 0, dann hat die Funktion f bei x0 ein lokales Maximum.
Die Charakteristik des 2. Extrempunkts wird durch die Tangente in x1 ermittelt.
Analog hat die zweite Ableitungsfunktion f’’(x) an der Stelle des lokales Minimums eine positive Steigung, f’’(x) > 0, also gilt f’(x0) = 0 und f’’(x0) < 0, dann hat die Funktion f bei x0 ein lokales Minimum.