Diese Regeln sollen jetzt auf die Funktion f(x) = (1/3)x³ – 3x² + 8x – 2 angewendet werden.

Charakterisierung der Extrempunkte mit Hilfe der 2. Ableitung

Die erste Ableitungsfunktion hatten wir zu f’(x) = x² – 6x + 8 = 0 berechnet, dann lautet die 2. Ableitungsfunktion f’’(x) = 2x – 6.

Setzen wir x₁ = 4 in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir f’’(4) = 2, also f’’(4) > 0. Entsprechend erhalten wir für x₂ = 2 den Funktionswert f’’(2) = -2, also f’’(2) < 0.

Verfahren zur Extremwertbestimmung

In der Abbildung links ist das Vorgehen bei der Extremwertbestimmung nochmals zusammengefasst. Man beachte dabei die Formulierung "mögliche Extremwerte". Sie bedeutet, dass ein Punkt, an dem die 1. Ableitung gleich Null ist, nicht immer auch ein Extrempunkt sein muss.

Waagrechte Tangente bei x = 0

Als Beispiel wird die Funktionsgleichung f(x) = x³ untersucht. Ihre 1. Ableitung lautet f’(x) = 3x², für f’(x) = 0 erhält man x = 0.

Durch den Punkt P verläuft eine waagrechte Tangente, P ist aber kein Extrempunkt.

Legt man an den Graphen der Funktion f(x) = x³ eine horizontale Tangente, so erkennt man, dass der Punkt P mit der horizontalen Tangente kein Extrempunkt ist. Er hat vielmehr eine andere Eigenschaft, wie das nächste Beispiel zeigt.