Stetigkeit und Differenzierbarkeit Eine Gerade mit unendlicher Steigung
Wann ist eine Funktion differenzierbar? Und wann ist eine Steigung unendlich? Wir befassen uns rechnerisch und grafisch mit Tangentengleichungen, um diese und andere grundlegende Fragen beantworten zu können.
Eine Gerade mit unendlicher Steigung und der Geradengleichung x = 0 - klicken Sie bitte auf die Lupe.
In der letzten Lektion haben wir bereits erfahren, dass eine Funktion f(x) an der Stelle x0 nur dann differenzierbar ist, wenn sie an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit endlicher Steigung hat. Zur Erinnerung betrachten wir nochmals den Graphen der Quadratwurzelfunktion f(x) gleich Wurzel aus x. Im Punkt 0/0 besitzt die Kurve die f(x)-Achse als Tangente - eine Gerade mit unendlicher Steigung und der Geradengleichung x = 0.
Warum ist die Steigung unendlich? Erinnern Sie sich an die Geradengleichung f(x) = m mal x plus t: Die Formvariable t ist dabei der f(x)-Achsenabschnitt und m der Steigungsfaktor. Für die Geradengleichung der f(x)-Achse bedeutet dies, dass der y-Achsenabschnitt null ist und der Punkt mit den Koordinaten 0/0 die Geradengleichung erfüllen muss - das heißt, eine wahre Aussage liefert. Wir erhalten die Gleichung 0 = m mal 0 + 0. Wir können m nicht berechnen, da durch null nicht geteilt werden darf. Das deutet auf eine Grenzwertrechnung hin.
Doch woher haben wir die Tangentengleichung, also die Geradengleichung für die f(x)-Achse mit x = 0? Einerseits aus logischer Überlegung, andererseits aber auch aus früherem mathematischen Wissen.
Logische Überlegung zur Tangentengleichung
Alle Punkte auf der f(x)-Achse haben die x-Koordinate 0 - klicken Sie bitte auf die Lupe
In nebenstehender Abbildung sind die Punkte auf der f(x)-Achse eingezeichnet: zum Beispiel P1 mit 0 und 0, oder P2 mit 0 und 2, oder P3 mit 0 und 3 und so weiter. Alle Punkte auf der f(x)-Achse haben unabhängig von ihrer f(x)-Koordinate alle die x-Koordinate 0. Danach lautet logischerweise die Geradengleichung x = 0. Zum Vergleich: Bei der Geraden mit der Gleichung x = 3 haben alle Punkte die x-Koordinate 3.
Mathematische Herleitung der Tangentengleichung
OP ist der Richtungsvektor auf der f(x)-Achse - klicken Sie bitte auf die Lupe
Von Vektoren und Geradengleichungen mit Vektoren haben Sie in Telekolleg Mathematik schon gehört und haben Begriffe wie Ortsvektor und Richtungsvektor kennengelernt. Die Geradengleichung bildete sich aus der Summe aus dem Ortsvektor eines Punktes der Geraden und dem Vielfachen eines Richtungsvektors. Als ersten Punkt auf der f(x)-Achse wähle ich den Koordinatenursprung 0/0 und als zweiten den Punkt P mit den Koordinaten 0 und 3. OP ist somit der Richtungsvektor auf der f(x)-Achse und der Koordinatenursprung ist der Startpunkt für die Vektorgleichung der f(x)-Achse.
Den Punkt P des Richtungsvektors OP hätten wir auch unendlich weit von O entfernt auf der f(x)-Achse festlegen können - aber auch ganz nahe am Punkt 0. Am Grundprinzip der Vektorgleichung einer Geraden würde sich nichts ändern.
Wenn wir für den f(x)-Wert der Punkte x2 schreiben, lautet die Vektorgleichung wie nebenstehend: x1 x2 für alle Punkte der Geraden, ist gleich Ortsvektor 0/0 plus ein Vielfaches Lambda mal Richtungsvektor OP aus Spitze minus Fuß. Diese Vektorgleichung lässt sich in ein Gleichungssystem mit den Gleichungen x1 = 0 plus Lambda mal 0 und x2 = 0 plus Lambda mal 3 überführen.
Aus der Gleichung II erhalten wir Lambda gleich x2/3.
Gleichung der f(x)-Achse - klicken Sie bitte auf die Lupe
Dieses Lambda in I eingesetzt, führt zur Gleichung der f(x)-Achse mit x1 = 0. Dass die f(x)-Achse die Geradengleichung x = 0 hat, wäre somit ohne Einsatz von Grenzwertrechnung nachgewiesen. Aber warum ist die Steigung dann unendlich? Dazu nochmals zur Zeichnung.
Grafische Betrachtung
Steigungsdreiecke und sich daraus ergebende Geraden - klicken Sie bitte auf die Lupe
Das Steigungsdreieck - 4 nach rechts und 4 nach oben - führt zur nebenstehend eingezeichneten Geraden g1. 1 nach rechts und 5 nach oben führt zur zur Geraden g2. Wenn wir mit dem Steigungsdreieck auf der f(x)-Achse bleiben möchten, dürfen wir nur null nach rechts und eine beliebige konstante Zahl nach oben oder unten gehen. Wir wählen den Platzhalter c dafür. Eine konstante Zahl geteilt durch null gibt in der Grenzwertrechnung den eindeutigen Grenzwert unendlich.