Die Steigung der Tangente ist gleich der Wachstumsgeschwindigkeit

Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt ist bekanntlich gleich der Steigung der Tangente durch diesen Punkt. Das gilt auch für eine Exponentialfunktion, hier als Beispiel f(x) = e^k·x . Da es sich bei der Ableitung f’, also der Steigung der Tangente, um eine zeitliche Änderung des Wachstums, handelt, spricht man - analog zur zeitlichen Änderung eines Weges, die ja als Geschwindigkeit bezeichnet wird, von der Wachstumsgeschwindigkeit.

Beispiel: Wachstum einer Bakterienkultur

Wachstum einer Bakterienkultur

Ein typisches Beispiel für einen Wachstumsprozess aus der Biologie ist die Vermehrung einer Bakterienkultur. Auf einer Nährlösung vermehren sich die Bakterien bei geeigneter Temperatur kontinuierlich, ihr Wachstum kann mit einer Exponentialfunktion beschrieben werden.

Das Wachstum der Bakterienkultur entspricht einer Exponentialfunktion.

Eine ausgewählte Bakterienkultur wird mit dem Messmikroskop beobachtet und ihr Wachstum in ein Koordinatensystem eingetragen. Die Zahl der Bakterien wird in Abständen von 20 Minuten gemessen; mit den Messwerten, die in das Diagramm eingetragen werden, ergibt sich der Graph einer Exponentialfunktion: f(x) = 100·e^0,02·x. 0,02 ist hier die sog Wachstumskonstante, sie hängt neben den o. g. Bedingungen auch von der Zahl der Bakterien in der Startkultur ab.

Der Zuwachs an Bakterien entspricht jeweils der Höhe der Sekantendreiecke.

Um den Zuwachs je Zeiteinheit Δt = 20 min zu messen, lässt man vom PC Sekantendreiecke mit der Basis Δx = 20 min zeichnen, die Höhe des jeweiligen Dreiecks entspricht dann dem Zuwachs im beobachteten Zeitraum.

Tabelle mit den Funktionswerten und den Zuwächsen

Die Messwerte werden anschließend in eine Tabelle eingetragen. Die Zuwächse errechnet man jeweils aus der Differenz zweier aufeinanderfolgender Funktionswerte, z.B. 67 - 45 = 22, 100 - 67 = 33 usw.

Die Zuwächse sind den zugehörigen Funktionswerten proportional.

Betrachtet man diese Zuwächse genauer, so erhält man Hinweise auf eine mögliche Ableitungsfunktion. Wie die Tabelle zeigt, sind die einzelnen Funktionswerte von f(x) und die zugehörigen Zuwächse Δf(x) zueinander proportional, der Proportionalitätsfaktor ist hier 0,33.

Wenn das Intervall Δx immer kleiner gewählt wird, erhält man statt der Sekantensteigungen schließlich Tangentensteigungen.

Wahrscheinlich ist die Ableitung der Exponentialfunktion wieder eine Exponentialfunktion.

Das heißt - wenn die Hypothese zutrifft, dass auch hier die Tangentensteigung proportional zum zugehörigen Funktionswert ist - das Ergebnis wäre f(x)·a = f’(x), also wäre die Ableitung wieder eine Exponentialfunktion.

Bevor diese These weiter verfolgt wird, wendet sich die Sendung monoton abnehmenden Exponentialfunktionen zu.