Telekolleg - Stochastik II Bedingte Wahrscheinlichkeit
Auf die vorhergehenden Folge aufbauend wird zunächst die bedingte Wahrscheinlichkeit behandelt.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit liegt dann vor, wenn man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Ereignisses bestimmt, wobei bereits ein anderes Ereignis vorher eingetreten ist. Dazu ein Beispiel:
Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit
Pauline sucht mit verbundenen Augen nach schwarzen Baumwollsocken ...
In einer Schublade liegen 3 Paar schwarze Baumwollsocken, 1 Paar schwarze Schurwollsocken, ferner 4 Paar weiße Baumwollsocken und 2 Paar weiße Schurwollsocken.
... und findet sie, obwohl es unwahrscheinlich ist.
Ein Kind soll mit verbundenen Augen versuchen, 1 Paar schwarze Baumwollsocken herauszusuchen. Tatsächlich findet das Kind die richtigen Socken. Es soll nun die Wahrscheinlichkeit für diesen Erfolg berechnet werden.
Darstellung in Vierfeldertafel
Vierfeldertafel für die Häufigkeiten der möglichen Ereignisse - klicken Sie bitte auf die Lupe
Zunächst werden die vorkommenden Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel dargestellt. Ereignis 1 für Baumwollsocken. "Nicht Baumwolle", also "nicht Ereignis eins" und somit E1quer, für die Schurwollsocken. E2 wird für die schwarzen Sockenpaare vergeben und somit E2quer für die nicht schwarzen also weißen Socken. Jetzt lassen sich die gegebenen Häufigkeiten eintragen. 3 mal Baumwolle schwarz, 4 mal Baumwolle weiß, 1 mal Schurwolle schwarz und 2 mal Schurwolle weiß. Es ergeben sich sowohl bei der Summenbildung der Wollarten als auch bei der Summenbildung der Farbarten 10 Sockenpaare.
Das Kind konnte allerdings fühlen, dass es ein Sockenpaar aus Baumwolle ertastet hat. Somit kann man aus der Vierfeldertafel ersehen, dass es 3 günstige Ereignisse für 7 Möglichkeiten gibt. Die Wahrscheinlichkeit, nach ertastetem Ereignis E1 schwarze Socken zu greifen, ist demnach PE1(E2) = 3/7 .
Da bereits ein Ereignis stattgefunden hatte, bevor das zweite statt fand, spricht man von einer bedingten Wahrscheinlichkeit.
Darstellung als Baumdiagramm
Baumdiagramm der bedingten Wahrscheinlichkeiten ... (Klicken Sie bitte auf die Lupe)
Im Baumdiagramm treten die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den zweiten Teilstrecken der Pfade auf, zum Beispiel auch das errechnete PE1(E2). Der erste Teilpfad beschreibt alle Baumwollsocken, das sind 7 von insgesamt 10 Sockenpaaren, also 0,7. Der zweite Teilpfad alle Schurwollsocken, 3 von 10, also 0,3 für P(E1quer) als Nichtbaumwollsocken.
... und mit den berechneten Wahrscheinlichkeitswerten (Klicken Sie bitte auf die Lupe)
Nun gibt es noch die verschiedenen Farben der materialunterschiedlichen Sockenpaare. Bei den Baumwollsocken schwarz und weiß, sowie bei den Schurwollsocken schwarz und weiß. PE1(E2) bezeichnet den Pfad für die schwarzen Baumwollsocken, PE1(E2quer), also nicht schwarz, bezeichnet den Pfad für die weißen Baumwollsocken. Gleiches gilt für die Socken aus Schurwolle.
Die Wahrscheinlichkeit für schwarze Baumwollsocken - wenn man sich vorher klar ist, dass das Material Baumwolle ist - wurde vorher schon bestimmt. Für PE1(E2) ergibt sich 3/7. Genauso lassen sich die anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten für unsere zweiten Pfade bestimmen. Es ergibt sich dann ein mit Wahrscheinlichkeitswerten versehenes Baumdiagramm. Mit der Pfadmultiplikationsregel erhält man schwarze Baumwollsocken mit der Wahrscheinlichkeit 0,3. Weiße Baumwollsocken auf Grund der Schnittmenge aus Baumwolle und Farbe Weiß mit 7/10 · 4/7 = 0,4. Analoges gilt für schwarze und weiße Schurwollsocken.