Die berechneten Wahrscheinlichkeiten in einer Vierfeldertafel - klicken Sie bitte auf die Lupe

Die Vierfeldertafel für Wahrscheinlichkeiten ist ähnlich zur Vierfeldertafel für die Häufigkeiten und zeigt nochmals die Gesetzmäßigkeit, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten vom Eintreten eines Ereignisses und dem Nichteintreten eines Ereignisses immer 1 ist. Die Vierfeldertafel für die Wahrscheinlichkeiten beinhaltet die Werte 0,3; 0,4; 0,1 und 0,2. Die Wahrscheinlichkeit Baumwollsocken zu greifen ist insgesamt 0,7 und somit wahrscheinlich. Es ist auch wahrscheinlich, weiße Socken zu erwischen, da P(E_2quer) - also nicht schwarz - 0,6 ist.

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes - klicken Sie bitte auf die Lupe

Der englische Mathematiker Thomas Bayes hat diese Zusammenhänge im Satz von Bayes formuliert. Aus der Pfadmultiplikationsregel, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens eines Ereignisses E₂ nach dem Eintreffen eines Ereignisses E₁ zutrifft, bestimmt sich das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zutreffenden Pfade.

Teilt man die Pfadmultiplikationsregel durch P(E₁), so erhält man den Satz von Bayes, wobei P(E₁) nicht Null sein darf.

Allgemeine Formulierung der bedingten Wahrscheinlichkeit

Analog dazu kann man auch die anderen Wahrscheinlichkeiten wie zum Beispiel P nach E₁ von E₂ quer berechnen. Die Schreibweise P_Em(E_n) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass das n-te Ereignis eintritt, wenn das m-te bereits eingetreten ist.

Alternative Symbole für die Ereignisse und analoge Formulierung des Satzes von Bayes

Oftmals werden in der Literatur auch andere Symbole verwendet. Zum Beispiel findet man für Ereignis eins, bei uns E₁, auch oft Ereignis groß A und dementsprechend für E₂ den Großbuchstaben B. Für unser Hintereinandereintreffen von beliebigen Ereignissen haben wir die Schreibweise P nach E₁ von E₂ gewählt. Mit groß A und groß B entspricht dies der Schreibweise P von A I B. Der senkrechte Strich sagt aus, dass, wenn das Ereignis A eintritt, das Ereignis B bereits eingetreten ist, genau umgekehrt wie bei unserer Schreibweise. A steht für E₂ und B für E₁ .

Ein Beispiel

Frauen, Männer, Auto- und Nichtautofahrer werden in einer Strichliste festgehalten

Im nächsten Beispiel wird beobachtet, welche Kollegiatinnen und Kollegiaten mit dem Auto bzw. auf andere Weise zur Kollegtagschule kommen. Die Ergebnisse der Strichliste werden in einer Vierfeldertafel dargestellt.

Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten - klicken Sie bitte auf die Lupe

Daraus lässt sich ablesen, dass von insgesamt 60 Schülern 18 männliche Teilnehmer und 26 weibliche mit dem Auto zur Schule kamen. Zwei männliche und 14 weibliche Teilnehmer kamen ohne Auto. Die gebildeten Teilsummen geben addiert stets die Gesamtzahl 60. Es liegen also zwei Ereignisse mit ihren Gegenereignissen vor, männlich / nicht männlich sowie mit Auto / ohne Auto.

Baumdiagramm mit den bedingten Wahrscheinlichkeitswerten - klicken Sie bitte auf die Lupe

Um ablesen zu können, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine ankommende Person weiblich ist oder kein Auto besitzt oder - noch schwieriger - männlich ist und kein Auto hat, wird ein Baumdiagramm gezeichnet, bei dem das Ereignis E₁ die Aussage über das Geschlecht trifft und das Ereignis E₂ die Aussage über den möglichen Autobesitz. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 60 Teilnehmern bei 20 Männern der Ankommende männlich ist, beträgt 20/60 = 1/3. Weiblich, demnach nicht männlich, sind 40/60 = 2/3. Von den 20 männlichen Teilnehmern kommen 18 mit dem Auto, dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 18/20 = 9/10. Frauen mit Auto: 26/40 = 13/20 und Frauen ohne Auto 7/20.

Mit den jetzt bereits bestimmten Wahrscheinlichkeiten lässt sich zum Beispiel ermitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit es sich um einen männlichen Teilnehmer handelt, der mit dem Auto kommt. Es ist das Produkt der Pfade männlich – Auto, 1/3 · 9/10 = 0,3. Ebenso erhalten wir die Wahrscheinlichkeitswerte, wenn wir die anderen möglichen Pfade laufen, mit 0,03, 0,43 und 0,23. Die Probe zeigt, dass sich als Summe 0,3 + 0,03 + 0,43 + 0,23 ≈ 0,99, also ungefähr gleich 1 ergibt.

Inverses Baumdiagramm

Inverses Baumdiagramm mit den bedingten Wahrscheinlichkeitswerten - klicken Sie bitte auf die Lupe

Wie sieht es jetzt aber aus, wenn man als erstes Ereignis nicht das Geschlecht, sondern den Autobesitz gewählt hätte? Man erhält dazu ein inverses Baumdiagramm, bei dem gegenüber dem ursprünglichen Baumdiagramm das Ereignis E₂ als erstes und danach folgend das Ereignis E₁ eintrifft. 44 von 60 Ankommenden treffen mit dem Auto ein, dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 0,73. Nicht mit dem Auto kommen die Leute mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,27, nämlich 16/60.

Von den Schülern mit Auto sind 18/44 also 41% männlich und 26/44, das entspricht 59% oder als Wahrscheinlichkeitswert 0,59, nicht männlich. Für die Nichtautofahrer ergeben sich die Werte 0,13 und 0,87. Mit Hilfe dieses inversen Baumdiagramms lässt sich auch ermitteln, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein eintreffender Schüler zum Beispiel Autofahrer und männlich ist. Die Werte werden wieder durch das Produkt aus den Wahrscheinlichkeitswerten längs der Pfade ermittelt: 0,73 · 0,41 = 0,3; 0,73 · 0,59 = 0,43 und so weiter. Zur Probe kann man wieder die Quersumme der letzten Zeile bilden, sie muss 1 ergeben. Also 0,3 + 0,43 + 0,04 + 0,23 = 1.