Telekolleg - Stochastik II Inverses Baumdiagramm
Nun zeigen wir an einem Beispiel, wie man die Anzahl von Versuchen bei einem Experiment mit gegebener Wahrscheinlichkeit berechnet.
Wie oft muss man würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit eine "6" zu bekommen?
Wie oft muss man mindestens würfeln, um sagen zu können, dass man mit mindestens 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die Augenzahl sechs gewürfelt hat?
Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten - bitte klicken Sie auf die Lupe
Ein Baumdiagramm verdeutlicht den Sachverhalt, mit Augenzahl sechs als eintreffendes Ereignis 1 und 6quer als nicht eintreffendes Ereignis 1, also für nicht sechs. 5/6 ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht sechs gewürfelt wird, und 1/6 steht für die 6. Das Baumdiagramm lässt sich für jedes Würfeln beliebig oft fortsetzen. Wie lässt sich nun bestimmen, wie oft man würfeln muss, damit mit 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die Sechs dabei ist? Das heißt, dass das Würfeln des Gegenereignisses, nämlich keine Sechs gewürfelt zu haben, nur eine Wahrscheinlichkeit von 10 Prozent haben darf. Über dieses Gegenereignis 6quer lässt sich eine Gleichung aufstellen.
Mit dieser Gleichung wird die Zahl der Würfe für P(Equer) = 0,1 berechnet - bitte klicken Sie auf die Lupe
Der Wahrscheinlichkeitswert 5/6 n-mal multipliziert muss kleiner als 10 Prozent, also kleiner als 0,1 sein. In der Potenzschreibweise erhält man (5/6)n < 0,1. Beide Seiten der Ungleichung logarithmiert, erhält man lg(5/6)n < lg 0,1. Über die Gesetzmäßigkeit lg ab = b ∙ lg a ergibt sich n · lg(5/6) < lg 0,1 .
Umformen der Ungleichung - bitte klicken Sie auf die Lupe
Nun teilt man durch den Faktor vor bzw. nach n, hier also durch lg(5/6). Bei Divisionen von Ungleichungen muss man aber beachten:
Bitte beachten:
Multipliziert oder dividiert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um
Auflösen der Ungleichung nach n - bitte klicken Sie auf die Lupe
Außerdem haben Logarithmen zwischen 0 und 1 negative Werte. Somit ändert sich bei der Teilung mit Logarithmus von fünf Sechstel der Ungleichungsoperator. Man erhält n > (lg 0,1)/[lg(5/6)] .
Der Bruch im Nenner wird in eine Differenz umgeformt - bitte klicken Sie auf die Lupe
Ferner gilt bei der Logarithmenrechnung: lg(a/b) = lg a – lg b , also hier lg 0,1/(lg 5 – lg 6) . Als Ergebnis erhält man schließlich n > 12,63 und somit als Lösung, da beim Würfeln nur natürliche Zahlen auftreten können, n = 13.
Man muss 13-mal würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit eine "6" zu bekommen
Man muss also 13-mal würfeln, um mit mindestens 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit sagen zu können, dass beim Würfeln mindestens einmal eine Sechs dabei war.
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