Von B-Dorf nach C-Hausen soll eine direkte Verbindung geschaffen werden, die aber durch einen Berg verlaufen muss. Bisher muss stets über A-Stadt gefahren werden. Die Wegstrecken sind geradlinig und bilden bei A-Stadt einen Winkel von 60 Grad. Welche Verkürzung des Weges ergibt sich mit der neuen Straßenführung, wenn die jetzigen Straßenlängen von B-Dorf nach A-Stadt 30 Kilometer und von A-Stadt nach C-Hausen 20 Kilometer betragen?

Eine Aufgabe, die wir mit dem Kosinussatz sicher lösen können, da im Dreieck ABC zwei Seiten und der von den Seiten eingeschlossene Winkel gegeben sind.

Die Lösung

Die Lösung: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Wir kennen im Dreieck ABC zwei Seitenlängen mit 30 Kilometern und 20 Kilometern. Der von ihnen eingeschlossene Winkel beträgt 60 Grad. Jetzt kommt der Kosinussatz zum Einsatz. Die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seitenlänge ist gesucht. Also x hoch zwei ist die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten - hier "dreißig hoch zwei plus 20 hoch zwei", vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seitenlängen und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels, also "minus zwei mal dreißig mal zwanzig mal Kosinus 60 Grad".
x ist dann die Wurzel aus dem Rechtsterm. Und mit dem Taschenrechner ermittelt 26,5, sprich Kilometer.

Eine geradlinige Verbindungsstrecke von B-Dorf nach C-Hausen hätte also eine Länge von circa 26,5 Kilometern.
Dies würde einer Fahrtstreckeneinsparung von 23,5 Kilometern entsprechen, da ja die ursprüngliche Fahrtstrecke 30 plus 20 Kilometer beträgt.

Beispiel: Winkelberechnung über den Kosinussatz

Winkelberechnung über den Kosinussatz: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Nun ein Beispiel für die Winkelberechnung über den Kosinussatz. Nehmen wir mal an, wir haben ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a gleich sieben Zentimeter, b gleich sechs Zentimeter und c gleich neun Zentimeter. Wir berechnen die Innenwinkel des Dreiecks, beginnend mit der Berechnung des Winkels beta.

Der Kosinussatz bietet einen Zusammenhang zwischen den Seiten und einem Winkel des Dreiecks. Man beginnt den Kosinussatz immer mit der Seite, die den im Kosinussatz verwendeten Winkel gegenüberliegt. Für den Winkel beta im Dreieck ABC gilt somit: "b Quadrat ist a Quadrat plus c Quadrat minus 2 mal a mal c mal Kosinus beta." - klicken Sie bitte auf die Lupe in obenstehender Grafik.

Der Winkel beta

Weitere Berechnung: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Jetzt könnten wir natürlich die gesamte Formel nach Kosinus alpha auflösen. Aber einfacher ist es, wenn wir die Platzhalter bereits jetzt belegen: Für b gleich sechs ergibt sich sechs Quadrat ist gleich, für a gleich sieben ergibt sich sieben Quadrat und so weiter - wie in nebenstehender Grafik dargestellt, bitte klicken Sie auf die Lupe.

Das Ergebnis: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Am Ende ergibt sich der Zahlenwert für Kosinus beta mit 0,746. Und das liefert für beta ein Winkelmaß von 41,75 Grad.

Der Winkel Gamma

Berechnung von Gamma: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Den ersten Winkel im Dreieck kennen wir nun: beta gleich 41,75 Grad. Das Dreieck besitzt aber noch zwei weitere Winkel, alpha und Gamma. Beide Winkel kann man mit dem je zugehörigen Kosinussatz berechnen. Es wäre aber auch möglich, den zweiten Winkel über den Sinussatz zu ermitteln, da ja jetzt mit Hilfe des berechneten Winkels beta ein Pärchen aus Winkel und gegenüberliegender Seite bekannt ist. Diese Folge den Titel "Kosinussatz" trägt, wollen wir aber zur Übung nochmals den Kosinussatz verwenden.

Berechnung von Gamma: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Für Gamma im Dreieck ABC gilt: "c Quadrat ist gleich a Quadrat plus b Quadrat minus zwei mal a mal b mal Kosinus Gamma". Mit unseren gegebenen Seitenlängen für a, b und c erhalten wir: "neun Quadrat gleich sieben Quadrat plus sechs Quadrat minus zwei mal sieben mal sechs mal Kosinus Gamma". Über den gleichen Lösungsweg wie bei der Berechnung des Winkelmaßes von beta kommen wir für Gamma zu einem Winkelmaß von 87,25 Grad.

Der Winkel alpha

Berechnung von Alpha: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Jetzt haben wir schon zwei Innenwinkel des Dreiecks ABC bestimmt. Es fehlt nur noch der Winkel alpha. Man kann ihn mit dem Kosinussatz oder mit dem Sinussatz berechnen. Einfacher und schneller geht es, wenn man daran denkt, dass die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck 180 Grad beträgt. Und bei zwei bekannten Winkelmaßen dürfte dann das dritte Winkelmaß nicht schwer zu bestimmen sein. alpha plus beta plus Gamma ist 180 Grad. Mit beta gleich 41,75 Grad und Gamma gleich 87,25 Grad führt dies für alpha zu einen Winkelmaß von 51 Grad.

Beweis des Lehrsatzes von Pythagoras

Beispiel-Dreieck: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Zum Abschluss wollen wir noch zeigen, dass der Lehrsatz von Pythagoras auch über den Kosinussatz bewiesen werden kann. Nehmen wir ein bei alpha rechtwinkliges Dreieck ABC.

Der Kosinussatz für den Winkel alpha lautet "a Quadrat ist gleich b Quadrat plus c Quadrat minus zwei mal b mal c mal Kosinus alpha". Da der Winkel alpha 90 Grad beträgt, ergibt sich Kosinus von 90 Grad und das gibt Null. Und somit bleibt Hypotenuse zum Quadrat ist eins. Kathete zum Quadrat plus zwei. Kathete zum Quadrat - also der pythagoreische Lehrsatz für das rechtwinklige Dreieck.