Exponentialfunktionen Exponentialgleichungen und Logarithmus
Von: Nicolas Duscha | Fachberatung: Roland Brode, Elisabeth Kraft
Stand: 14.06.2023 |Bildnachweis
Hier beantworten wir folgende Fragen:
- Was ist der Unterschied zwischen Exponentialfunktion und Exponentialgleichung?
- Was ist der Logarithmus und wozu brauchst du ihn?
- Wie löst du eine Exponentialgleichung?
- Welche Regeln gibt es beim Rechnen mit Logarithmen?
Nach dem Video findest du vertiefende Informationen unten zum Aufklappen. Mit den Lernchecks kannst du testen, ob du alles verstanden hast.
Definition
Exponentialfunktion = Funktion bei der die Variable im Exponenten steht. Hier wird nach dem Funktionswert f(x) zum Zeitpunkt x gefragt. Beispiel: f(x) = 500 · 1,009x
Exponentialgleichung = Gleichung bei der die Unbekannte im Exponenten steht. Entsteht, wenn man bei einer Exponentialfunktion einen Funktionswert hat und nach der Variablen auflösen will. Hier wird nach dem Zeitpunkt x gefragt, bei dem ein Funktionswert f(x) erreicht wird. Beispiel: 500 · 1,009x = 1000
Radioaktive Stoffe zerfallen exponentiell. Das heißt, dass immer langsamer immer weniger da ist. Die Zeit T1/2 zu der genau noch die Hälfte der Anfangsmenge da ist, kannst du einfach berechnen:
Genau wie die Halbwertszeit beim exponentiellen Zerfall fragt, wann noch die Hälfte da ist, kann man sich beim exponentiellen Wachstum fragen, wann genau das Doppelte vom Anfangswert da ist.
Die Formel dafür kannst Du genau so herleiten:
Da die Verdopplungszeit nicht vom Anfangswert, sondern nur vom Wachstumsfaktor abhängt, gibt es eine einfache Faustregel in der Zinsrechnung, wann sich ein Startkapital bei einem Zinssatz von p% verdoppelt hat: T2=72/p. So kannst du die ungefähre Verdopplungszeit ganz schnell ausrechnen.
Da es eine Faustregel ist, musst du aber immer darauf achten, dass es nicht exakt ist und nur für kleine p gilt. Du musst also immer gucken, ob es vielleicht zu ungenau wird. 5% Wachstum heißt: nach 72/5=(72/10) • 2 =7,2 • 2 = 14,4 Jahren hat sich die Menge verdoppelt.
Alles verstanden? Mach den Lerncheck
Frage
Die Weltbevölkerung wächst jedes Jahr um durchschnittlich 1,6% (Quelle: UN World Population Prospects: Revision 2015).
Alle wieviel Jahre verdoppelt sich die Weltbevölkerung?
a) 72
Leider Falsch!
Nach der Faustregel kannst du die Verdopplungszeit mit 72/1,6 ausrechnen und das ergibt 45 Jahre. Antwort c) ist richtig.
b) 115,2
Leider Falsch!
Nach der Faustregel kannst du die Verdopplungszeit mit 72/1,6 ausrechnen und das ergibt 45 Jahre. Antwort c) ist richtig.
c) 45
Richtig!
Nach der Faustregel kannst du die Verdopplungszeit mit 72/1,6 ausrechnen und das ergibt 45 Jahre. Antwort c) ist richtig.
Warum gilt die 72er-Regel? Und warum ist sie ungenau?
72er-Regel Herleitung
Dafür brauchst du nur die Verdopplungs- und die Zinseszins-Formel gleichsetzen:
Durch Anfangskapital teilen:
Und dann logarithmieren:
Jetzt wird es ungenau:
Wenn p relativ klein ist, dann kannst du den Nenner so annähern (den Beweis dafür lassen wir weg). Genau deswegen gilt die Regel aber nur für kleine p.
Das macht dann:
Eigentlich sollte ja 72/p rauskommen. Und genau da wird es nochmal ungenauer. Es gibt zwar auch die 69er-Regel, oder die 70er-Regel, aber durchgesetzt hat sich die 72er-Regel. Unter anderem weil die 72 viele kleine Teiler hat. Das heißt man kann ganz gut damit im Kopf rechnen.
Beim Rechnen mit Exponentialgleichungen brauchst du oft Logarithmen. Da helfen dann die
Manchmal passt die Basis des Logarithmus nicht zu dem was in den Taschenrechner eingegeben werden kann. Mit einer Formel kannst du aber verschiedene Basen ineinander umrechnen: