Exponentialfunktionen Funktionsgraphen der Exponentialfunktionen
Hier beantworten wir folgende Fragen:
- Wie kannst du exponentielles Wachstum und Zerfall veranschaulichen?
- Wie sehen die Graphen der Exponentialfunktionen aus und wie zeichnest du sie?
- Welche besonderen Eigenschaften und wichtigen Punkte haben die Graphen der Exponentialfunktionen?
- Wie kannst du am Funktionsgraph exponentielles Wachstum von exponentiellem Zerfall unterscheiden?
Nach dem Video findest du vertiefende Informationen unten zum Aufklappen.
Alle Exponentialfunktionen mit einer Funktionsgleichung in der Form N(x) = N0 • bx haben folgende Eigenschaften:
Wertebereich
Der Wertebereich der Exponentialfunktion - also die Werte, die die Funktion annehmen kann - ist die Menge der positiven reellen Zahlen. Oder einfach: "Das was für N(x) rauskommt ist immer eine positive reelle Zahl."
Nullstellen
Die Exponentialfunktion in der Form N(x) = N0 • bx hat keine Nullstellen.
y-Achsenabschnitt
Anfangswert 1: Alle Graphen der Exponentialfunktion in der Form N(x) = bx gehen durch (0|1). Denn wenn du 0 für x einsetzt, bekommst du N(0)=b0 und eine Zahl hoch 0 ist 1.
Anfangswert N0: Alle Graphen der Exponentialfunktion mit Anfangswert N0 [Funktionsgleichung N(x) =N0 • bx] gehen durch (0|N0). Denn wenn du 0 für x einsetzt, bleibt N0 übrig, weil b0=1 ist.
Monotonie
Für b>1 (exponentielles Wachstum) ist die Funktion streng monoton wachsend. Das heißt: je größer x wird, um so größer wird auch der Funktionswert. Die Funktion wächst immer und bleibt nie auf dem gleichen Wert.
Für 0<b<1 (exponentiellen Zerfall ) ist die Funktion streng monoton fallend. Das heißt: je größer x wird, um so kleiner wird der Funktionswert. Die Funktion fällt immer und bleibt nie auf dem gleichen Wert.
Asymptote
Die x-Achse ist Asymptote der Funktion. Das heißt, dass sich der Funktionsgraph der x-Achse immer mehr annähert, aber nie erreicht.
Bruch in der Basis
Der Graph der Exponentialfunktion N(x)=(1/b)x ist die Spiegelung zu N(x)=b^x an der y-Achse.
Achtung: Wenn vor dem Exponenten ein Minuszeichen steht, heißt das nicht, dass der Potenzwert negativ ist. x = -1 heißt nicht, dass bx = b-1 negativ ist, sondern, dass man sich einen Zeitpunkt eine Stunde vor Beobachtungsbeginn anschaut. Eine Stunde vorher war eben auch schon etwas da. Eine kleinere, aber immerhin eine positive Menge (z. B. an Bakterien).