Exponentialfunktionen Unterschied exponentielles, quadratisches und lineares Wachstum
Hier beantworten wir folgende Fragen:
- Was unterscheidet exponentielles von quadratischem und linearem Wachstum?
- Was ist ein Beispiel für exponentielles, quadratisches und lineares Wachstum?
- Wie kannst du erkennen, welche Wachstumsart vorliegt?
- Was ist die schnellste Wachstumsart?
Nach dem Video findest du vertiefende Informationen unten zum Aufklappen. Mit den Lernchecks kannst du testen, ob du alles verstanden hast.
Verschiedene Wachstumsarten
Linear
Funktionsgraph Lineares Wachstum
Funktionsgleichung:
f(x) = mx + b
Wie wächst es?
Es kommt immer der gleiche Betrag dazu.
Anwendungsbeispiel:
Wasserstand in einem gewöhnlichen Schwimmbecken, das gleichmäßig gefüllt wird.
Quadratisch
Funktionsgraph Quadratisches Wachstum
Funktionsgleichung:
f(x) = ax2 + bx + c
Wie wächst es?
Es kommt abhängig von der Zeit gleichmäßig mehr dazu.
Anwendungsbeispiel:
Zunahme des Bremswegs abhängig von der Geschwindigkeit.
Exponentiell
Funktionsgraph Exponentielles Wachstum
Funktionsgleichung:
f(x) = a · bx
Wie wächst es?
Es kommt abhängig von der aktuellen Menge mehr dazu, es wächst also um den gleichen Faktor.
Anwendungsbeispiel:
Bakterienwachstum / Algenwachstum
Alles verstanden? Mach den Lerncheck
Frage
Du hast immer die Wahl dein Geld zuhause unter dem Bett zu verstecken, oder es anzulegen (z. B. auf deinem Konto). Die Zinsen, die Banken zahlen sind ja meistens sehr kleine Zahlen. Lohnt es sich dann überhaupt Geld anzulegen?
Ein konkretes Beispiel: du kannst entscheiden
a) du startest mit 20€ und bekommst jeden Monat 5€ dazu.
b) du legst 20€ bei der Bank an und bekommst jeden Monat 5% Zinsen.
Was ist das bessere Angebot?
a) +5€
Richtig oder falsch? - Kommt darauf an.
Wenn es dir um die schnelle Kohle geht, dann hast du Recht. Kurzfristig ist das das bessere Angebot. Aber langfristig ist Antwort b) besser.
Du startest mit 20€ und bekommst in jeder Woche 5€ dazu. Wenn wir die Wochen x nennen ist die Funktionsgleichung für diese Wachstumsart: f(x)=20€+5x. Das ist eine lineare Funktion und die wächst immer gleichmäßig. Aber wird eben auch nicht schneller. Ganz gleichmäßig kommen jede Woche 5€ dazu
Woche | Betrag
0 | 20€
1 | 25€
2 | 30€
3 | 35€
4 | 40€
…
54 | 290€
55 | 295€
56 | 300€
57 | 305€
…
Deshalb wird sie irgendwann vom anderen Angebot eingeholt. Da hängt das was dazukommt nämlich immer davon ab, was schon da ist.
b) +5%
Richtig oder falsch? - Kommt darauf an.
Langfristig gesehen bekommst du dadurch mehr. Es handelt sich um exponentielles Wachstum und das heißt hier der Zinseszins schlägt zu. Die 5% Zinsen sind nämlich immer davon abhängig, wieviel Geld da ist. Woche für Woche ist mehr Geld da, denn es sind ja die Zinsen aus der Woche davor dazu gekommen. Deshalb wird das was jede Woche dazu kommt auch immer mehr.
Woche | Betrag | Zuwachs
0 | 20€
1 | 21€ | +1€
2 | 22,05€ | +1,05€
3 | 23,15€ | +1,10€
4 | 24,31€ | +1,16€
…
54 | 278,77€ | +13,27€
55 | 292,71€ | +13,94€
56 | 307,35€ | +14,64€
57 | 322,72€ | +15,37€
…
Nach 56 Wochen ist das lineare Wachstum eingeholt. Hier hast du bei Variane a) nur 300€ und nach 57 Wochen nur 305€. Bei Variante b) wächst es jetzt viel schneller: Denn die Zinsen, also der Zuwachs in einer Woche, sind fast drei mal so hoch, wie bei der lineare Variante a).
Die Funktionsgleichung für diese Wachstumsart ist f(x)=20€•1,05x. x steht dabei für die Woche. Das ist eine exponentielle Funktion und es kommt in jedem Schritt mehr dazu.
Wie die Funktionsgleichung ganz genau entsteht erklären wir im Zusatzwissen zu Zinseszins.
Sind nur verschiedene Werte zu verschiedenen Zeiten gegeben (z. B. aus einer Statistik) und du sollst die Funktionsgleichung aufstellen, oder sagen um welche Wachstumsart es sich handelt, hilft es oft eine Tabelle anzulegen. So kannst du schauen, ob in jedem Schritt dasselbe dazu kommt (= lineares Wachstum), oder es sich um das selbe vervielfacht (= exponentielles Wachstum).
Lineares Wachstum
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
In jedem x-Schritt wird +5 bei y gerechnet. Es kommt also immer der gleiche Betrag dazu.
Allgemein:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | a | a+m | a+2m | a+3m | a+4m |
In jedem x-Schritt wird +m bei y gerechnet. Es kommt also auch hier immer der gleiche Betrag dazu.
Exponentielles Wachstum
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 |
In jedem x-Schritt wird •5 bei y gerechnet. Es vervielfacht sich also immer um den gleichen Faktor.
Allgemein:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | b | b2 | b3 | b4 | b5 |
In jedem x-Schritt wird •b bei y gerechnet. Es vervielfacht sich also immer um den gleichen Faktor.