Exponentialfunktionen Wachstum und Zerfall
Von: Nicolas Duscha | Fachberatung: Roland Brode, Elisabeth Kraft
Stand: 29.03.2017 |Bildnachweis
Hier beantworten wir folgende Fragen:
- Was ist exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall?
- Wie unterscheidest du exponentielles Wachstum von exponentiellem Zerfall?
- Wozu braucht man Exponentialfunktionen?
- Wie stellst du die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion auf?
Nach dem Video findest du vertiefende Informationen unten zum Aufklappen. Mit den Lernchecks kannst du testen, ob du alles verstanden hast.
Exponentialfunktion
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die reelle Zahlen auf positive reelle Zahlen abbildet (f : IR -> IR +).
Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = a · bx wobei a eine positive reelle Zahl (a ϵ IR +) und b eine positive reelle Zahl, aber nicht 1, ist (b ϵ IR + \ {1}).
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Frage
Die Wachstumsrate der Weltbevölkerung beträgt zur Zeit etwa 1,2% pro Jahr (Zahl von 2014). 2014 lebten ungefähr 7,2 Milliarden Menschen auf der Erde. Wie viele leben zehn Jahre später auf der Erde?
a) 8,6 Milliarden Menschen
b) 8,1 Milliarden Menschen
c) 44,6 Milliarden Menschen
a) 8,6 Milliarden
Leider falsch!
Die Weltbevölkerung wächst jedes Jahr um 1,2%.
Deine Rechnung 7.200.000.000 · 1,2 = 8,6 ist also falsch.
Richtig ist: Nach einem Jahr hast Du:
Also Wachstumsfaktor b = 1,012. Deshalb ist die Exponentialfunktion für das Bevölkerungswachstum hier N(t) = 7.200.000.000 · 1,012t
Und nach 10 Jahren hast Du N(10) = 7.200.000.000 · 1,01210 ≈ 8.112.180.801 ≈ 8,1 Milliarden.
b) wäre also richtig.
b) 8,1 Milliarden
Richtig!
Nach einem Jahr hast Du:
100% (was schon da ist) + 1,2% (kommt nach einem Jahr dazu) = 101,2% = (% in Dezimal umrechnen) 1,012
Also Wachstumsfaktor b = 1,012. Deshalb ist die Exponentialfunktion für das Bevölkerungswachstum hier N(t) = 7.200.000.000 · 1,012t
Und nach 10 Jahren hast Du N(10) = 7.200.000.000 · 1,01210 ≈ 8.112.180.801 ≈ 8,1 Milliarden.
Tipp: Wenn Du sie schon kennst, kannst du auch die Zinseszins Formel N(t) = N0 · (1 + p/100)t benutzen und die Zahl vor dem Prozentzeichen direkt für p einsetzen:
N(10) = 7.200.000.000 · (1 + 1,2/100)10 ≈ 8.112.180.801 ≈ 8,1 Milliarden.
c) 44,6 Milliarden
Leider falsch!
Achtung: 1,2% ist ein relativer Zuwachs und kein Wachstumsfaktor. Die Funktion lautet also nicht:
N(t) = 7.200.000.000 · 1,2t
sondern
N(t) = 7.200.000.000 · 1,012t
Nach einem Jahr hast Du nämlich:
Also Wachstumsfaktor b = 1,012.
Und nach 10 Jahren hast Du N(10) = 7.200.000.000 · 1,01210 ≈ 8.112.180.801 ≈ 8,1 Milliarden.
Schau dir am besten "Von % zu Wachstumsfaktor" noch einmal an.
Das besondere an Exponentialfunktionen ist, dass die Variable x im Exponenten steht. Aber auch die Basis, die zum Beispiel b heißt, spielt eine entscheidende Rolle. Je nachdem welchen Wert b hat, sieht die Exponentialfunktion f(x) = bx ganz anders aus.
Die wichtigsten Fälle, die Du unterscheiden musst, sind b>1 (b größer als 1) und 0<b<1 (b zwischen 0 und 1).
Andere Basis - andere Funktion
b>1
Ist die Basis b größer als 1, dann handelt es sich um exponentielles Wachstum.
b nennt man dann den Wachstumsfaktor, denn in jedem Einer-Schritt wird der Funktionswert (oder die Menge die da ist) ver-b-facht. Es ist also b mal so viel da, wie im Schritt davor.
0<b<1
Ist die Basis b zwischen 0 und 1, dann handelt es sich um exponentiellen Zerfall (exponentielle Abnahme).
In jedem Einer-Schritt wird ver-b-facht. Da b aber kleiner als 1 ist, wird es durch das Multiplizieren nicht mehr, sondern weniger. Deshalb heißt b auch Zerfallsfaktor.
Was ist, wenn die Basis weder größer als eins, noch zwischen 0 und 1 ist? Das sind gar keine Exponentialfunktionen. Denn die Basis der Exponentialfunktionen ist definiert als positive Zahl (also größer als Null) die ungleich 1 ist. Und warum darf die Basis nicht gleich 1, gleich 0, oder negativ sein? Das ist der Grund:
Falsche Basis - keine Exponentialfunktion
b=1
Ist die Basis b gleich 1, ist es keine Exponentialfunktion.
1 hoch irgendwas ist immer 1, denn 1 mit sich selbst multipliziert ergibt 1, egal wie oft man es mal 1 nimmt. Die Funktion ist einfach die konstante Funktion f(x)=1.
b=0
Ist die Basis b gleich 0, ist es keine Exponentialfunktion.
0 hoch irgendwas ist 0, denn 0 mit sich selbst multipliziert ist 0. Ausnahme ist 00, irgendwas hoch 0 ist nämlich als 1 definiert. Die Funktion ist also überall 0, nur bei 0 ist sie gleich 1.
b<0
Ist die Basis b kleiner als 0, also negativ, ist es keine Exponentialfunktion.
Die Funktion springt die ganze Zeit, denn ist zum Beispiel b=-2, dann ist bei x=2 der
Funktionswert f(2)=4, also positiv [b2 = (-2)2 = (-2) · (-2) = 4].
Bei x=3 aber wieder negativ [b3 = (-2)3 = (-2) · (-2) · (-2) = -8] Das Vorzeichen wechselt so immer wieder. Außerdem bekommt man bei den Brüchen ein Problem, denn:
Wachstumsfaktor
Die Basis b in der Funktionsgleichung f(x)=bx nennt man auch Wachstumsfaktor (für b>1) oder Zerfallsfaktor (für 0< b<1). Den Wachstumsfaktor kannst du mit der Wachstumsrate berechnen:
Wachstumsrate + 100% = Wachstumsfaktor (meist als Dezimalzahl geschrieben)
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Bakterien vermehren sich durch Teilung. Aus einer Bakterie werden zwei. Die zwei teilen sich wieder und es werden vier, dann acht, sechzehn usw. Sagen wir die Bakterien teilen sich zum Beispiel einmal pro Minute. Du legst um 11.00 Uhr eine Bakterie im Labor in eine Petrischale und siehst, dass das Gefäß um 12.00 Uhr voll ist.
Aber wie kam es dazu? Biologen und Mediziner können mit Exponentialfunktionen ausrechnen, wie schnell Bakterien wachsen. Hast Du verstanden, wie schnell exponentielles Wachstum abläuft?
Wann waren wie viele Bakterien da?
Frage
Um 12.00 Uhr ist das Gefäß voll. Wann ist es halb voll?
a) Um 12.00 Uhr ist das Gefäß voll, dann ist es um halb 12 halb voll.
b) Exponentielles Wachstum ist anfangs langsamer. Deshalb ist das Gefäß um viertel vor 12 halb voll.
c) Die Bakterienzahl explodiert erst ganz zum Schluss. Das Gefäß ist erst um kurz vor 12 halb voll.
a) Halb 12
Leider falsch!
Jede Minute verdoppelt sich die gesamte Bakterienkolonie. Um halb 12 ist das Gefäß erst zu 0,00000009% gefüllt.
b) Viertel vor 12
Leider falsch!
Jede Minute verdoppelt sich die gesamte Bakterienkolonie. Um viertel vor 12 ist das Gefäß erst zu 0,003% gefüllt.
c) Kurz vor 12
Richtig!
Die Bakterienkolonie verdoppelt ihre Größe in jedem Schritt. Dann war das Gefäß also einen Schritt vorher halb voll.
Und genauer?
Frage
Wann ist das Gefäß halb voll?
a) 11.55 Uhr
b) 11.57 Uhr
c) 11.59 Uhr
a) 11.55 Uhr
Leider falsch!
Um 11.55 Uhr ist das Gefäß erst zu etwa 3% gefüllt.
Jede Minute verdoppelt sich die gesamte Bakterienkolonie. Also auch im letzten schritt von 11.59 auf 12.00 Uhr. Da das Gefäß um 12.00 Uhr voll ist, muss es davor halb voll gewesen sein. Einen Schritt vorher, also um 11.58 war nur 1/4 gefüllt. So kann du rückwärts rechnen:
12.00 Uhr - voll (entspricht 100%).
11.59 Uhr - halb voll (entspricht 50%).
11.58 Uhr - 1/4 gefüllt (entspricht 25%).
11.57 Uhr - 1/8 gefüllt (entspricht 12,5%).
11.56 Uhr - 1/16 gefüllt (entspricht 6,25%).
11.55 Uhr - 1/32 gefüllt (entspricht 3,125%).
Richtig ist also Antwort c).
b) 11.57 Uhr
Leider falsch!
Um 11.57 Uhr ist das Gefäß erst zu 12,5% gefüllt.
Jede Minute verdoppelt sich die gesamte Bakterienkolonie. Da das Gefäß um 12.00 Uhr voll ist, muss es davor halb voll gewesen sein. Einen Schritt vorher, also um 11.58 war nur 1/4 gefüllt. So kannst du rückwärts rechnen:
12.00 Uhr - voll (entspricht 100%).
11.59 Uhr - halb voll (entspricht 50%).
11.58 Uhr - 1/4 gefüllt (entspricht 25%).
11.57 Uhr - 1/8 gefüllt (entspricht 12,5%).
Richtig ist also Antwort c).
c) 11.59 Uhr
Richtig!
Jede Minute verdoppelt sich die gesamte Bakterienkolonie. Also auch im letzten schritt von 11.59 auf 12.00 Uhr. Da das Gefäß um 12.00 Uhr voll ist, muss es davor halb voll gewesen sein.
Oft hast du bei Wachstumsprozessen keinen Wachstumsfaktor gegeben, sondern eine Prozentzahl – die sogenannte Wachstumsrate. Dann heißt es nicht "nach einem Jahr verdoppelt sich die Anzahl" sondern es ist zum Beispiel die Rede von "einem Anstieg um 3%", oder einem "Zuwachs von 50%". In der Funktionsgleichung der Exponentialfunktion brauchst du aber einen Wachstumsfaktor. Was nun?
Ist die Wachstumsrate eines Wachstumsvorgangs als Prozentzahl gegeben, dann beschreibt das die relative Zunahme einer Größe. Wächst eine Anfangspopulation N0 zum Beispiel mit einer Wachstumsrate von 3% pro Jahr, dann heißt das, dass nach einem Jahr 3% mehr da ist als im Jahr davor, also 100% + 3% = 103% = 1,03. Du hast also N(1) = N0 · 1,03
Wiederholst du das immer wieder, erhältst du N(x) = N0 · 1,03x
Wachstumsfaktor
Es gilt also:
Oder anders: Den Wachstumsfaktor bekommst du, indem du 100% + Wachstumsrate in % rechnest und das Ergebnis als Dezimalzahl in die Wachstumsfunktion einsetzt.
Erinnerung - Prozent richtig umrechnen
Viele Fehler passieren beim Umrechnen von Prozent in Dezimalzahl.
Das Prozent-Zeichen sagt dass du durch 100 teilen musst. Denn Prozent heißt von hundert also durch 100. Wenn du das %-Zeichen also weglässt und es als Dezimalzahl schreiben willst, dann musst du durch 100 teilen.
Dadurch rutscht das Komma um zwei Stellen nach links.
| Wachstumsrate | Wachstumsfaktor | Wachstumsfunktion |
|---|---|---|
| 0,03% | 1,0003 | N(x) = N0 · 1,0003x |
| 0,8% | 1,008 | N(x) = N0 · 1,008x |
| 2% | 1,02 | N(x) = N0 · 1,02x |
| 5,6% | 1,056 | N(x) = N0 · 1,056x |
| 13% | 1,13 | N(x) = N0 · 1,13x |
| 50% | 1,5 | N(x) = N0 · 1,5x |
| 100% | 2 | N(x) = N0 · 2x |
| 140% | 2,4 | N(x) = N0 · 2,4x |
Und wenn es nicht mehr wird, sondern weniger? Beim Zerfall funktioniert es fast gleich. Nur dass hier nicht addiert wird, sondern subtrahiert. Denn in jedem Schritt ist ja weniger da, als davor. Also zum Beispiel 100% - 3% = 97% = 0,97
| Zerfallsrate | Zerfallsfaktor | Zerfallsfunktion |
|---|---|---|
| 4% | 0,96 | N(x) = N0 · 0,96x |
| 0,7% | 0,993 | N(x) = N0 · 0,993x |
| 50% | 0,5 | N(x) = N0 · 0,5x |
Das Besondere der Exponentialfunktion ist die Variable im Exponenten. Zahlen mit Exponent sind Potenzen. Du musst also gut mit Potenzen rechnen können. Dabei helfen dir oft die Potenz-Rechenregeln:
Wachstumsrate ist nicht gleich Wachstumsfaktor
Wachstumsrate und Wachstumsfaktor werden oft verwechselt. Sie können zwar ineinander umgerechnet werden, sind aber nicht dasselbe.
| Wachstumsrate | Wachstumsfaktor |
|---|---|
| Anteil | Faktor |
| Welcher Anteil kommt dazu? | Um wie viel vervielfacht es sich? |
| Prozentzahl | Dezimalzahl |
| Steht oft im Text | Brauchst Du für die Funktionsgleichung |