Ableitungsregeln Darstellung mit einem Oszillografen
Besser als Zeigerinstrumente ist für die Darstellung von zeitlichen Spannungsverläufen ein Oszillograf geeignet.
Der linke Oszillograf zeigt den zeitlichen Verlauf der Eingangsspannung und der rechte den der Stromstärke durch das C-R-Glied.
Auf seinem Bildschirm wird horizontal die Zeitachse dargestellt und vertikal die angelegte Spannung. Statt des Strommessgeräts wird der Spannungsabfall am Wiederstand gemessen, er ist ja laut dem ohmschen Gesetzt U = R·I proportional der Stromstärke I. Mit einem sogenannten Funktionsgenerator können unterschiedliche zeitliche Spannungsverläufe periodisch erzeugt werden, so dass sie am linken Oszillografen fortlaufend betrachtet werden können. Der rechte Oszillograf zeigt die Ableitung dieses Spannungsverläufe, da sein Eingangssignal am Widerstand des C-R-Glieds abgenommen wird.
Erster Versuch
Das obere Bild zeigt den Verlauf der Eingangsspannung, das untere den der Ausgangsspannung des C-R-Glieds.
Bei einem ersten Versuch wird am linken Oszillografen eine Wechselspannung mit sinusförmigem Verlauf angezeigt – der rechte Oszillograf zeigt tatsächlich die Ableitung dieses Funktion, nämlich einen cosinusförmigen Verlauf.
Die Amplitude der Ausgangsspannung ist proportional der Amplitude der Eingangsspannung.
Wird die Amplitude der Eingangspannung vergrößert oder verkleinert, so ändert sich auch die Amplitude der Cosinusspannung proportional.
Zweiter Versuch
Bei konstanter Eingangsspannung ist die Ausgangsspannung gleich Null
Beim zweiten Versuch wird an den Eingang des linken Oszillografen eine konstante Gleichspannung angelegt, der rechte bzw. untere Oszillograf zeigt dabei unabhängig von der Höhe der Eingangsspannung null Volt an, d.h. die Ableitung einer Konstante a ist Null, a’ = 0.
Dritter Versuch
Bei linear ansteigender Eingangsspannung ist die Ausgangsspannung konstant
Legt man in einem dritten Versuch an den linken Eingang eine periodisch linear ansteigende Spannung, so zeigt der rechte bzw. untere Bildschirm eine konstante Spannung an. Steigt die Eingangsspannung schneller an, so ist die Ausgangsspannung größer und umgekehrt, d.h. a·x’ = a.
Ergebnisse
Zusammenstellung der Versuchsergebnisse
In einer Übersicht werden die Ergebnisse der drei Versuche zusammengestellt:
(a·sinx)’ = a·cosx; (a·x)’ = a; (a·xn)’ = a·n·xn-1
Allgemeine Ableitungsregel
Daraus lässt sich folgende allgemeine Ableitungsregel ableiten:
(a·f(x))’ = a·f’(x)