Differentialrechnung Grenzwertberechnung
Wir betrachten nun eine gebrochen rationale Funktion und die Ränder des Definitionsbereichs. Sie lernen, wie man Funktionsterme umformt und Grenzwerte berechnet.
Jetzt haben wir schon zwei eindeutige Grenzwerte ermittelt. Allgemein lässt sich sagen:
Allgemeine Aussage zum Grenzwert
Geht bei einem Funktionsterm mit konstantem Zähler der Nenner gegen null, ist der Grenzwert unendlich groß. Geht der Nenner gegen unendlich, ist der Grenzwert null.
Die Ränder des Definitionsbereichs
Berechnung an den Ränder des Definitionsbereichs - klicken Sie bitte auf die Lupe.
Mit diesem Wissen werden wir uns jetzt eine gebrochen rationale Funktion näher betrachten. Um sich eine Vorstellung über den Verlauf des Graphen machen zu können, werden wir die Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs untersuchen. Betrachten Sie bitte nebenstehende Funktion. An der Stelle x gleich null ist die Funktion nicht definiert. Sie hat demnach an dieser Stelle eine Definitionslücke. Die Definitionsmenge ist somit R ohne null.
Die Funktion ist definiert von minus unendlich bis null - aber genau null nicht mehr - und von null beziehungsweise ein bisschen mehr als null bis plus unendlich. Wir untersuchen jetzt das Verhalten an den Rändern. Beginnen wir für x gegen plus unendlich. Es ergibt unendlich minus 1 durch unendlich zum Quadrat. Schon haben wir einen unklaren Grenzwert. Denn unendlich minus 1 ist unendlich und im Nenner unendlich zum Quadrat ist auch unendlich. Was unendlich durch unendlich ist, wissen wir nicht. Wir wissen nur, dass eine konstante Zahl durch etwas unendlich Großes gegen null geht und dass eine konstante Zahl durch etwas ganz Kleines, also null, etwas unendlich Großes ergibt.
Umformung in Teilterme
Wir müssen also versuchen, den Funktionsterm so umzuformen, dass dementsprechende eindeutige Teilterme entstehen.
Umformung des Funktionsterms: Klicken Sie bitte auf die Lupe.
Die Umformung sehen Sie nebenstehend - bitte klicken Sie auf die Lupe. Nach Ausklammern und Kürzen von x bleibt stehen: Limes von x gegen plus unendlich von 1 minus 1 durch x im Zähler durch x im Nenner.
Berechnung des ersten Randwerts
Ein eindeutiger Teilterm
Nun haben wir einen eindeutigen Teilterm mit 1 durch x. Wird x hier unendlich groß, geht der Grenzwert von 1 durch x gegen Null. Es bleibt nur noch übrig: Limes x gegen unendlich von 1 durch x. Und das kennen wir schon: Dieser Grenzwert ist null. Die erste Randstelle wissen wir somit.
Berechnung des zweiten Randwerts
Die nächste Randstelle - wenn wir von der Zahlengerade her von plus unendlich nach minus unendlich wandern - ist die Null. Wie verhält sich hier unser Funktionsterm?
Berechnung des zweiten Randwerts
Wenn wir für x null einsetzen, erhalten wir minus 1 durch null. Bei 1 durch x für x gegen null hatten wir den eindeutigen Grenzwert plus unendlich. Dies bedeutet für minus 1 mal 1 durch x mal 1 durch x, dass unendlich mit minus 1 multipliziert wird, und zum Grenzwert minus unendlich führt.
Restliche Randwert-Berechnung
Berechnung des dritten Randwerts: Klicken Sie bitte auf die Lupe.
Der zweite Randwert ist somit auch klar. Im Grunde genommen auch der Dritte. Wenn wir uns, von minus unendlich kommend, dem x-Wert null nähern, ergibt der Randwert auch minus unendlich. Somit fehlt nur noch der Randwert für x gegen minus unendlich.
Restliche Randwert-Berechnung
Genau wie bei der Betrachtung für x gegen plus unendlich klammern wir im Zähler x aus und erhalten Limes x gegen minus unendlich von x mal Klammer auf 1 minus 1 durch x Klammer zu im Zähler, durch x mal x im Nenner.
Restliche Randwert-Berechnung
Ein x gekürzt führt zu Limes x gegen minus unendlich von 1 minus 1 durch x durch x. 1 durch x ist ein eindeutiger Grenzwert bei x gegen unendlich, nämlich null.
Und nochmals ein eindeutiger Grenzwert mit null für den gesamten Funktionsterm.
Der Graph der Funktion
Grenzwertberechnung und grafische Darstellung - klicken Sie bitte auf die Lupe.
Jetzt haben wir alle Randwerte berechnet. Mittels einer Wertetabelle werden wir nun den Graphen der Funktion zeichnen und überprüfen, ob die Grenzwertbestimmungen passen. Dazu setzen wir die x-Werte der Wertetabelle in den Funktionsterm ein: x gleich minus 4 ergibt den Funktionswert minus 5 Sechzehntel, x minus 3 ergibt minus 4 Neuntel und so weiter. An der Stelle x gleich null haben wir eine Definitionslücke. (Klicken Sie bitte auf nebenstehendes Bild). Grafisch dargestellt ergibt sich nebenstehender Kurvenverlauf. Der Graph nähert sich für x gegen plus unendlich und x gegen minus unendlich der x-Achse, also dem Funktionswert 0. Für x gegen null nähert sich der Graph von beiden Seiten der f(x)-Achse dem Funktionswert minus unendlich.
Allgemeine Aussage zum Grenzwert
Geht bei einem Funktionsterm mit konstantem Zähler der Nenner gegen null, ist der Grenzwert unendlich groß. Geht der Nenner gegen unendlich, ist der Grenzwert null.
Fazit
- Es sind immer nur klare Grenzwerte, wie zum Beispiel Zahlenwert durch x, anwendbar. Hier kann der Grenzwert sowohl für Werte gegen plus oder minus unendlich als auch gegen Null eindeutig bestimmt werden.
- Wenn im Bruchterm null durch null oder unendlich durch unendlich auftritt, handelt es sich um unklare Grenzwerte. Jedoch können durch das geschickte Zerlegen von Zählerpolynom und Nennerpolynom, oftmals auch durch einfaches Ausklammern, gemeinsame Nullstellen gefunden und gekürzt werden. Es entsteht somit aus einem noch unklaren Grenzwert ein klarer Grenzwert.