Kurvendiskussion 1 Monotonieverhalten einer Funktion
Zu Beginn des Beitrags soll anhand eines Beispiels aus der Wirtschaft das Monotonieverhalten einer Funktion untersucht werden.
Die Kosten folgen einer Funktion 3. Grades
Ein Angestellter soll aus der Analyse der Umsatzkurve und der Gesamtkurve des Kosten berechnen, bei welchen Stückzahlen einer Ware, in diesem Fall eines Füllfederhalters, die Gewinnkurve monoton steigt bzw. fällt.
Im Studio wird die Situation ausführlich analysiert.
Im Studio wird die Situation ausführlich analysiert: Der Umsatz als Funktion der Stückzahl ist direkt proportional zur verkauften Stückzahl x, U(x) = 5x. Die Kosten pro erzeugtem Füllfederhalter folgen der Funktion K(x) = (1/8)x3 – (3/2)x2 + 6x + 12 .
Der Definitionsbereich von x geht von 0 bis 11 (Tausend), x € [ 0, 11 ] . Der Gewinn errechnet sich aus der Differenz zwischen U(x) und K(x), also G(x) = U(x) – K(x) = -(1/8)x3 + (3/2)x2 - x – 12 .
Die Gewinnkurve wird aus der Differenz von Kosten und Umsatz gebildet
Eine grobe Übersicht der Gewinnzone lässt sich aus einer Wertetabelle zu dieser Funktion gewinnen, wie sie die Abbildung zeigt. Daraus lässt sich erkennen, dass ab x = 4 ein Gewinn entsteht, der bei x = 8 ein Maximum erreicht, danach aber schon wieder absinkt. Für eine genaue Information, in welchen Abschnitten die Gewinnkurve monoton fällt oder steigt, reicht diese Tabelle aber nicht.