Dazu dient eine Funktion, die empirisch ermittelt wurde: p(t) = 0,005(15t² – t³) für das Intervall 1 ≤ t ≤ 15. Sie zeigt, welcher Anteil der Gesamtbevölkerung nach dem Beginn einer Erkältungswelle im Verlauf der 15 Tage erkrankt ist.

Welcher Anteil der Gesamtbevölkerung ist nach dem Beginn einer Erkältungswelle im Verlauf der 15 Tage erkrankt?

Einen ersten Eindruck vom Prozentsatz der Erkrankten erhält man durch eine Wertetabelle: Zwischen dem 8 und dem 13 Tage erreicht die Zahl der Erkrankten ihren Höhepunkt, am 15. Tag ist sie durch Anwendung von Medikamenten und/oder Immunabwehr wieder praktisch Null.

Der Graph der "Erkrankungsfunktion"

Mit vielen weiteren Werten erhält man schließlich den Graphen der Funktion p(t) = 0,005(15t² – t³) . In diesem Fall ist für die medizinische Versorgung der Bevölkerung am wichtigsten, zu welchem Zeitpunkt der Anteil der Erkrankten am größten ist, d.h. wo der Graph sein Maximum erreicht. Vor dem Maximum muss die Funktion steigen, die Ableitung ist also positiv, nach dem Maximum ist die Funktion fallend, d.h. die Ableitung ist negativ.

Grafisches Ermitteln des Hochpunkts

Es liegt nahe, dass die Ableitung dann am Maximum gleich Null ist, d.h. die Tangentensteigung ist ebenfalls Null, die Tangente ist eine Parallele zur x-Achse. Am Zeichenbrett lässt sich die Parallele ziemlich genau anlegen und es zeigt sich, dass das Maximum etwa am 10. Tag erreicht wird.

Berechnung des Zeitpunkts der maximalen Erkrankungsrate

Ein genaueres Ergebnis erhält man, wenn die Funktion p(t) differenziert wird, es ergibt sich p’(t) = 0,015·t(10 - t) . Für p’(t) = 0 ergibt die quadratische Gleichung zwei Lösungen: t = 0 (diese Lösung scheidet aus, da t außerhalb des Definitionsbereichs liegt) und t = 10 .

Der Hochpunkt E der Funktion f(t)

Setzt man t = 10 in die Funktion p(t) = 0,005(15t² – t³) ein, so ergibt sich p = 2,5 . Der Anteil der erkrankten Bevölkerung erreicht demnach im Maximum 2,5%.
Der Punkt E mit den Koordinaten (10/2,5) wird nun in den Graphen eingetragen, man bezeichnet ihn als Hochpunkt der Funktion.

Berechnung der Funktion f ’(x) und ihrer Nullstellen - klicken Sie bitte auf die Lupe.

Nun sollen bei einer anderen Funktion 3. Grades alle Punkte mit einer horizontalen Tangente gesucht werden. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = (1/3)x³ – 3x² + 8x – 2 . Differenziert man diese Funktion, so erhält man die Ableitungsfunktion f ’(x) = x² – 6x + 8 . Für f ’(x) = 0 erhält man die quadratische Gleichung x² – 6x + 8 = 0. Sie hat die beiden Lösungen x1 = 4 und x₂ = 2 .

Berechnung der Koordinaten der beiden Extrempunkte

Setzt man diese Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung f(x) = (1/3)x³ – 3x² + 8x – 2 ein, so erhält man y1 = 3,3 und y2 = 4,7 . Man erhält also für dies Funktion zwei Extrempunkte E1(4/3,3) und E2(2/4,7) .

Wie lautet der Graph der Funktion?

Diese Extremwerte werden nun in ein Koordinatensystem eingetragen und Aufgabe der Zuschauer soll es sein, den Graphen der Funktion zu zeichnen.