11. Sätze am rechtwinkligen Dreieck 11.2. Der Satz von Pythagoras
Wie haben es die alten Ägypter nur geschafft, eine Pyramide zu vermessen - ohne optische Vermessungsgeräte? Sie kannten einen grundlegenden Satz der Geometrie - nämlich den von Pythagoras. Hier erfahren Sie mehr darüber.
Satz von Pythagoras:
c2 = a2 + b2 oder besser - da ja die Seiten nicht immer so angeordnet sind, dass c die Hypotenuse bildet - Hypotenuse2 = Kathete2 + Kathete2 .
Hierzu ein praktisches Beispiel:
Welcher "Trick" wurde in dem Film verwendet? Antwort: Der Lehrsatz von Pythagoras. Denn die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten ergibt den Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse. Und das kann man überprüfen: Die erste Kathete hat drei Meter Länge und die zweite Kathete vier Meter, dann misst die Hypotenuse fünf Meter. Probe nach Pythagoras: Klicken Sie bitte auf nebenstehende Grafik!
Berechnung einer Pyramide
Mit der Kenntnis des Satzes von Pythagoras ist für uns auch verständlich, wie man die Höhe einer Pyramide bestimmen konnte, bevor man etwas von Lasertechnik wusste.
Die Pyramide hat folgende Maße: Von der Mitte zum äußeren Eck sind es 120 Meter. Von diesem äußeren Eck zur Spitze 180 Meter. Mit der Pyramidenhöhe ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Höhe h eine Kathete des Dreiecks ist. Nach Pythagoras gilt: Hypotenuse, hier 180 Meter, zum Quadrat entspricht der Höhe h zum Quadrat plus der zweiten Kathete, hier 120 Meter, zum Quadrat.
Nach h aufgelöst: h2 = 180m2 - 120m2 . h ist dann die Quadratwurzel aus dem Rechtsterm. Den Rest erledigt der Taschenrechner: h ist ungefähr gleich 134 Meter.
In Wirklichkeit beträgt die heutige Höhe der Cheopspyramide ungefähr 139 Meter. Unsere Freunde haben demnach gut gemessen.