11. Sätze am rechtwinkligen Dreieck 11.1. Das rechtwinklige Dreieck
In dieser Folge geht es um Geometrie, und zwar speziell um Dreiecke. Zunächst wird eine grundlegende Frage geklärt: Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?
Nach zehn Folgen Arithmetik und Algebra kommen wir nun zu einem neuen Themenbereich, der Geometrie. Das Wort Geometrie kommt aus der griechischen Sprache und bedeutet soviel wie Landmessung. Für uns ist die Geometrie ein Teilgebiet der Mathematik, für das man traditionellerweise Geodreieck und Zirkel benutzt. Aber in dieser Folge wird es vor allem um die rechnerische Bestimmung von Seitenlängen und Winkelmaßen von Vielecken gehen. Und hier ganz speziell von Dreiecken.
90-Grad-Winkel, Hypotenuse, Kathete
Was ist rechtwinkliges Dreieck? Ein Dreieck, bei dem ein Innenwinkel das Winkelmaß 90 Grad besitzt, heißt rechtwinkliges Dreieck. Der 90-Grad-Winkel, der rechter Winkel heißt, wird durch einen Punkt im Viertelkreis gekennzeichnet. Er kann am Eckpunkt A anliegen, aber auch am Eckpunkt B oder am Eckpunkt C. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten, die die Schenkel des 90-Gradwinkels bilden, tragen jede die Bezeichnung Kathete.
Rekapitulation:
Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks beträgt 180 Grad. Das bedeutet, dass im rechtwinkligen Dreieck der rechte Winkel immer der größte Winkel dieses Dreiecks ist.
Hypotenusenabschnitte
Jetzt zu zwei wichtigen Teilstrecken der Hypotenuse: Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte, hier bezeichnet mit p und q. p ist der Hypotenusenabschnitt, der an der Kathete a anliegt, q der an der Seite b anliegende Hypotenusenabschnitt.
Die Beziehung zwischen den Dreiecksseiten
Gibt es eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Dazu betrachten wir die Flächeninhalte der Quadrate, die sich über den Seiten bilden lassen.
Der Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse c ist c hoch zwei. Der Flächeninhalt über der Kathete a ist a hoch zwei und der über der Kathete b ist b hoch zwei.
Jetzt wollen wir das Zusammenspiel dieser Flächen genauer betrachten. Nehmen wir als erstes die beiden Flächen über den Katheten.
Ergänzung zum Quadrat
Ergänzt man die Fläche zu einem Quadrat, hat dieses Quadrat die Seitenlänge a plus b. Die Ergänzungsflächen bestehen aus vier deckungsgleichen rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten a und b.
Das Gleiche machen wir mit dem Quadrat über der Hypotenuse. Hier kann das rechtwinklige Dreieck ABC an jeder Quadratseite angesetzt werden und es entsteht wieder ein Quadrat mit der Seitenlänge a plus b.
Wenn man von beiden Zeichnungen, die ja ein gleich großes Quadrat darstellen, die vier deckungsgleichen Dreiecke entnimmt, müssen die Restflächen gleiche Größe haben.
Die Sandspiele des Herrn Pythagoras
Und schon haben wir eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Den Sachverhalt haben aber nicht wir entdeckt - obwohl auch uns das gelungen wäre, wie wir es gesehen haben - sondern bereits vor 2.500 Jahren hat Herr Pythagoras bei Spielchen im Sand diesen Zusammenhang gefunden. Daher trägt er auch seinen Namen und bildet den bekannten Satz von Pythagoras.