Grundkurs Mathematik (13) 13.6. Anwendung in der Raumgeometrie
Nun geht es darum, dass die Trigonometrie auch in der Raumgeometrie Anwendung findet: Wir berechnen eine Pyramidenseitenfläche und das Gefälle einer Straße.
In der elften Grundkurs-Folge haben wir die Höhe der Cheopspyramide berechnet. Wir verwendeten dazu ein Teildreieck. Es war das Dreieck HMS, in dem die Seite MS die Höhe der Seitenfläche der Pyramide darstellte.
Da wir ab heute auch mit Winkeln arbeiten können, müsste es auch möglich sein, den Neigungswinkel der Pyramidenseitenfläche zur Grundfläche berechnen zu können:
Berechnung des Neigungswinkels der Pyramidenseitenfläche
Das Dreieck HMS in einer Pyramide und als Dreieck
Der Neigungswinkel, wir nennen ihn alpha, taucht im Teildreieck HMS am Eckpunkt M auf. Die Seitenkante MS bildet im Dreieck die Hypotenuse und die Seite HM die Ankathete des Winkels alpha.
Jetzt suchen wir nach einer Beziehung zwischen einem Winkel, der Hypotenuse und der Ankathete. Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete, scheidet aus, Kosinus ist Ankathete zur Hypotenuse ... halt! Das ist es!
Berechnung des Winkels
Kosinus alpha gleich Ankathete zur Hypotenuse. Mit Zahlen belegt: Kosinus alpha gleich 120 Meter durch 180 Meter ergibt 0,6 Periode. Mit Hilfe des Taschenrechners erhalten wir einen Winkel von 48,2 Grad.
Die Seitenlänge der Cheopspyramide ist also um 48,2 Grad gegen die Grundfläche geneigt, in Prospekten liest man meist von einem Neigungswinkel um die 51 Grad. Trotzdem können wir mit unserem Ergebnis zufrieden sein, da das gesamte Bauwerk in seiner Symmetrie nicht vollkommen perfekt ist.
Ein weiteres Beispiel aus der Praxis
Martin Dinkel trainiert für die Weltmeisterschaft im 24-Stunden-Mountainbike-Rennen. Letztes Jahr holte er mit seinem Team die Europameisterschaft. Im Training geht es täglich viele Kilometer bergauf, zum Glück aber zwischendurch auch bergab …
Beispielsweise 14 Prozent Gefälle bedeuten, dass auf 100 Meter in der Horizontalen der Höhenunterschied 14 Meter beträgt. Jetzt stellt sich die Frage: Um welches Winkelmaß ist dann die Straße gegenüber der Waagrechten geneigt?
Grafische Darstellung
Grafisch dargestellt bildet der Straßenverlauf mit einer Waagrechten den Neigungswinkel φ. Das Verkehrsschild sagt, dass auf 100 Meter ein Höhenunterschied von 14 Metern vorliegt. Es ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck, in dem der Neigungswinkel φ wieder auftritt. In diesem Dreieck ABC bildet die Strecke BC die Gegenkathete und die Strecke AC die Ankathete zum Winkel φ.
Grafische Darstellung des Straßenverlaufs. Für die Berechnung klicken Sie bitte auf die Lupe.
Jetzt sind wir wieder an dem Punkt, an dem wir überlegen müssen, welche Winkelfunktion Anwendung findet. Je öfter Sie solche Aufgaben bearbeiten, desto schneller werden Sie - sogar ohne Blick in die Formelsammlung - die richtige Winkelfunktion wählen. Bei gegebener An- und Gegenkathete ist es die Tangensfunktion: Tangens φ ist Gegenkathete zur Ankathete. Mit unseren Maßzahlen versehen, Tangens φ ist 14 durch 100.
Hinweis:
In der Mathematik kann man auf die Angabe von Einheiten dann während der Rechnung verzichten, wenn es sich bei allen verwendeten Größen um gleiche Einheiten handelt. In der Physik sieht das etwas anders aus, hier müssen Sie bei allen Berechnungen die Einheiten mitführen.
14 geteilt durch 100 ist 0,14 und das gibt mit Hilfe des Taschenrechners das Winkelmaß φ 7,97 Grad. Also ungefähr acht Grad.
Und so könnte man noch viele Beispiele aus dem Alltag zeigen, welche mittels der ebenen Trigonometrie in geradlinig begrenzten Figuren zu einer Lösung geführt werden.