Multiplikation von Summen, Binome Multiplikationstabelle
Mit den binomischen Formeln, deren Entdeckung einer fiktiven Person namens Alessandro Binomi zugeschrieben wird, können wir also nicht nur ausmultiplizieren, sondern auch faktorisieren. Aber nur Summen, deren Struktur einer binomischen Formel entspricht, lassen sich auf diese Art in ein Produkt umwandeln.
Dies hat dem französischen Mathematiker Francois Viéte, besser bekannt unter dem Namen Vieta, keine Ruhe gelassen, und er entwickelte ein Verfahren, mit dem sich mittels einer Multiplikationstabelle bestimmte Summen in ein Produkt umformen lassen, deren Struktur keiner binomischen Formel entspricht.
Beispiel
Multiplikationstabelle - klicken Sie bitte auf die Lupe
In einem Beispiel leiten wir nun die Multiplikationstabelle her. Wir wählen den Term T von x gleich x hoch zwei plus 3x minus zehn. Die Produktschreibweise soll aus zwei Klammern mit Inhalten a, b, c und d bestehen. Somit entsteht eine Multiplikationstabelle mit den festen Inhalten x2 und minus zehn, wenn das Produkt die Form a plus oder minus b in Klammern mal c plus oder minus d in Klammern hat. a und c lässt sich leicht bestimmen, da nur x mal x den Wert x hoch zwei ergibt. Für b und d ist es schon schwieriger, denn es gibt mehrere Möglichkeiten für Faktoren, deren Produktwert minus zehn ist. Wählen wir minus zehn und eins, denn minus zehn mal eins ist minus zehn. Dann ergibt dies in unserer Multiplikationstabelle x mal eins ist 1x und minus zehn mal x ist minus 10x. 1x minus 10x ergibt dann aber minus 9x und nicht plus 3x, wie wir es in unserem Summenterm stehen haben.
Die Faktoren müssen also so gewählt werden, dass ihre Summe plus drei ergibt und zugleich der Produktwert minus zehn beträgt. Für welche Zahlen ist das der Fall? Plus eins mal minus zehn war es nicht. Überlegen wir mal weiter. Zwei mal minus fünf ist auch minus zehn. Aber zwei minus fünf ist minus drei und nicht plus drei.
Vertauschen wir einmal die Vorzeichen. Minus zwei mal plus fünf ist minus zehn und minus zwei plus plus fünf ist plus drei. Das muss es sein.
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Betrachten wir noch einmal unsere Tabelle. x mal fünf gibt 5x und minus zwei mal x gibt minus 2x. 5x minus 2x ist plus 3x und somit passt alles.
Wir können für den Summenterm x Quadrat plus 3x minus zehn die Produktform x minus zwei in Klammern mal x plus fünf in Klammern schreiben.
Wie Sie wahrscheinlich richtig erkannt haben, findet man unter mehreren Möglichkeiten die Lösung durch Probieren. Vielleicht war dies das Sudoku des 16. Jahrhunderts?