Multiplikation von Summen, Binome Multiplikation von Summen
Der Multiplikation von Summen nähern wir uns mit einem konkreten Beispiel an: Zwei identische Einkäufe in jeweils einer Tüte kommen gemeinsam in eine Einkaufstüte.
Jedes von zwei Kindern kauft ein, und zwar eine Tüte mit einem Geodreieck, zwei karierten Hefte, drei linierten Hefte. Sie stecken alles zusammen in eine Tasche. Stellen wir diesen Vorgang mathematisch mit beliebigen Einkaufsartikeln dar:
Für die Geodreiecke wählen wir die Variable x, für die karierten Hefte die Variable y und für die linierten Hefte die Variable z.
Dann befinden sich in der ersten Tüte:
1 Geodreieck also 1 mal x plus 2 karierte Hefte, demnach 2 mal y, plus 3 linierte Hefte, dargestellt durch 3 mal z.
Die Klammer stellt unsere Tüte dar, in der sich die Gegenstände befinden. Jetzt haben wir zwei solche Tüten, also wird der Inhalt verdoppelt. Mathematisch wird die Klammer mit zwei multipliziert.
Mathematische Darstellung mit x, y und z
Durch die mathematische Darstellung mit x, y und z könnten wir alle möglichen Zusammenstellungen von Einkaufsgegenständen wählen, und auch die Koeffizienten, in unserem Falle 1, 2 und 3 könnten durch beliebige andere Zahlen ersetzt werden. Zum Beispiel könnte man auch fünf Geodreiecke kaufen. Wie kommen wir jetzt aber auf den Tüteninhalt?
Es sind ja zwei Tüten in einer Gesamttüte. Also 2 mal ein Geodreieck, und 2 mal 2 karierte Hefte und 2 mal 3 linierte Hefte. Jede Gegenstandsmenge der ersten Tüte wird mit zwei multipliziert.
Und wir erhalten 2 mal 1x plus 2 mal 2y plus 2 mal 3z. Und ausmultipliziert 2x plus 4y plus 6z als Ergebnis.
Hätten vier Kinder eingekauft, so wären es vier Tüten gewesen, der Multiplikationsfaktor vor der Klammer wäre somit eine vier. Und jede Gegenstandsmenge in der ersten Tüte wäre mit vier vervielfacht worden.
Oder was wäre, wenn nur 2 linierte Hefte benötigt werden? Dann müsste aus jeder Tüte eines entnommen und zurückgelegt werden. Und auch das können wir algebraisch darstellen:
Beispiel
Der ursprüngliche Tüteninhalt ist 1x plus 2y plus 3z. Bei Entnahme eines linierten Heftes ist der neue Tüteninhalt 1x plus 2y plus 3z minus für die Entnahme 1z.
Das Ganze 2 mal gibt den neuen Gesamttüteninhalt von 2x plus 4y plus 6z minus 2z. Und die z-Glieder zusammengefasst ergeben 4z.