12. Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion 12.5. Tangensfunktion
Jetzt betrachten wir noch eine dritte trigonometrische Funktion, die wie Sinus und Kosinus am Einheitskreis jedem Winkel einen entsprechenden Zahlenwert zuordnet.
Wir wissen bereits, dass jeder Punkt P auf dem Einheitskreis die kartesischen Koordinatenwerte Kosinus alpha und Sinus alpha besitzt.
Die zur y-Achse parallele Tangente berührt den Einheitskreis im Punkt B und schneidet die Halbgerade OP im Punkt P Strich. Die Länge der Strecke von B nach P Strich ist der Tangens des Winkels alpha. Die Bezeichnung Tangens kommt von dem lateinischen Wort tangere für berühren.
Die Länge der Strecke von B nach P Strich kann natürlich gemessen werden und in ein uns schon bekanntes System mit einer x-Achse als Winkel alpha-Achse und einer y-Achse als Tangeswertachse übertragen werden.
Klärung der Definitionslücken
Vielleicht können wir uns diese Definitionslücken erklären. Dazu verwenden wir nochmals nebenstehende Grafik, klicken Sie bitte auf die Lupe. Nach dem Vierstreckensatz gilt, dass sich Tangens alpha zu Sinus alpha genau so verhält wie eins zu Kosinus alpha.
Somit haben wir einen Zusammenhang zwischen Tangens alpha, Sinus alpha und Kosinus alpha.
Tangens alpha ist Sinus alpha durch Kosinus alpha.
Ermittlung der Tangenswerte
Mit dieser Erkenntnis lassen sich die Tangenswerte über Sinus und Kosinus ermitteln - siehe nebenstehende Tabelle, klicken Sie bitte auf die Lupe.
In der Tabelle können Sie nachvollziehen, wie man mit errechneten Sinus- und Kosinuswerten den Tangeswert bestimmen kann. In den letzten beiden Zeilen der Tabelle ist dies ersichtlich: Bei 90° kommt es zu einer Division mit dem Divisor Null - was nicht erlaubt ist. Es kommt zu einer Definitionslücke. Die Lücken wiederholen sich bei 270 Grad und so weiter.
Grafische Klärung der Definitionslücken
Grafisch kann man sich diese Definitionslücken auch erklären, denn die Tangente am Einheitskreis verläuft ja parallel zur y-Achse. Es kann also keinen Schnittpunkt mit der y-Achse bei alpha = 90 Grad und alpha = 270 Grad im Bereich von 0 Grad bis 360 Grad geben. Auf Ihrem Taschenrechner ist auch eine Taste für die Tangensfunktion. Sie können hiermit den Tangenswert direkt aus dem Winkelmaß bestimmen - und umgekehrt aus dem Tangenswert das dazugehörige Winkelmaß.