Differentialrechnung Steigung quadratischer Funktionen
Nach einer kurzen Zusammenfassung des bisher Gelernten ermitteln wir am Beispiel einer einfachen quadratischen Funktion die Steigung.
Kurz eine Rekapitulation - Folgendes ist Ihnen nun schon bekannt:
Zusammenfassung
- Das Berechnen der Ableitung einer Funktion wird Differentiation genannt, kurz gesagt, man differenziert diese Funktion.
- Die Tangentensteigungsfunktion ist nichts anderes als die Ableitungsfunktion.
- Mit Hilfe von Sekanten hatten wir uns an die Tangentensteigung von Funktionen herangetastet und die Tangente als Grenzlage der Sekante kennengelernt.
quadratische Funktion: für die Tangentensteigungsfunktion klicken Sie bitte auf die Lupe.
Mithilfe der Tangentensteigungsfunktion haben wir die Steigung im Berührpunkt berechnet. Das war für jede Tangente, also für jeden beliebigen Punkt des Graphen der Funktion, möglich.
Ein einfaches Beispiel
Aus der Zeichnung kann man die Steigung ablesen (Klicken Sie bitte auf die Lupe)
Nebenstehende einfache quadratische Funktion hatte also die Tangentensteigungsfunktion f'(x) = 2x, die wir auch Ableitungsfunktion nannten. Klicken Sie bitte auf nebenstehendes Bild. Mit dieser Ableitungsfunktion ist es uns möglich, für jeden Punkt des Graphen der Funktion f(x) = x2 die Steigung der zugehörigen Tangente zu ermitteln.
Ermittlung der Steigung
Der Verlauf des Graphen der quadratischen Funktion f(x) = x2 ist Ihnen sicher geläufig. Zeichnen wir die Tangente im Punkt mit dem x-Wert 1, können wir aus der Zeichnung die Steigung mit zwei Einteln ablesen. Über die Ableitungsfunktion bekommen wir diesen Steigungsfaktor auch: f' an der Stelle x gleich 1 ist 2 mal 1 gleich 2.
Weiteres Rechenbeispiel
Rechenbeispiel - klicken Sie bitte auf die Lupe.
Berechnen wir es nun für den x-Wert minus 2. Die Steigung der Tangente an den Graphen an der Stelle x gleich minus 2 ergibt, über die Ableitungsfunktion ermittelt, nebenstehende Funktion. Die Steigung der Tangente beträgt minus 4. An der Zeichnung überprüft (Klicken Sie bitte auf nebenstehendes Bild), ergibt sich m gleich minus 1 im Nenner als x-Achsenrichtung des Steigungsdreiecks und 4 im Zähler für die f(x)-Achsenrichtung des Steigungsdreiecks.
Unendlich viele Tangenten
Es hat sich somit bestätigt, dass mithilfe der Ableitungsfunktion die Steigung für jeden Punkt des Graphen angegeben werden kann. Für unsere verwendete quadratische Funktion ergibt sich für jeden beliebigen Punkt eine andere Steigung. Der Graph beherbergt unendlich viele Punkte und jeder Punkt hat eine andere Steigung, also hat er auch unendlich viele Tangenten mit unterschiedlichen Steigungsfaktoren.
Fazit
Die Ableitung einer Funktion ist maßgeblich für die Tangentensteigung in einem bestimmten Punkt dieser Funktion.