Grundkurs Mathematik (4) 4.5. Ungleichungen
Wenn ein Term kleiner oder größer ist als der andere Term, dann sprechen wir von einer Ungleichung. Sie lässt sich berechnen wie eine Gleichung, man muss dabei nur eine simple Regel namens "Inversionsgesetz" beachten ...
Ungleichungen - klicken Sie bitte auf die Lupe
Ungleichungen wie Gleichungen sind mit Hilfe des Termbegriffs definiert. Die Verbindung zweier Terme durch eines der Zeichen "kleiner", "kleiner gleich", "größer" und "größer gleich" heißt Ungleichung.
Die Lösungsmenge einer Ungleichung beinhaltet die Menge aller Werte, für die die Ungleichung bezüglich ihrer Grundmenge in eine wahre Aussage übergeht.
Lineare Ungleichungen werden nach denselben Regeln und Gesetzmäßigkeiten gelöst, wie lineare Gleichungen.
Zusätzlich muss aber das Inversionsgesetz berücksichtigt werden.
Inversionsgesetz
Multipliziert oder dividiert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
Natürlich könnte man sagen, das gilt auch bei Gleichungen, aber das Gleichheitszeichen umgedreht bleibt ein Gleichheitszeichen. Hingegen wird aber aus einem Größerzeichen ein Kleinerzeichen und umgekehrt.
Beispiel
Lösung einer Ungleichung - klicken Sie bitte auf die Lupe
Wir lösen die Ungleichung minus 4 mal x plus 6 größer als 10 in der Grundmenge der ganzen Zahlen Z. Wie bei Gleichungen x-Glieder links und x-freie Glieder rechts. Somit als erster Rechenschritt auf beiden Seiten 6 subtrahiert. Wir erhalten minus 4x größer als 4. Um die Lösung für 1x ablesen zu können müssen wir noch durch minus 4 dividieren und erhalten x kleiner, da das Inversionsgesetz angewendet werden muss, und plus 4 durch minus 4 ergibt, minus 1.
Zwei Formen einer Lösungsmenge - klicken Sie bitte auf die Lupe
Die Lösungsmenge kann in zwei Formen angegeben werden. In der aufzählenden Form, beginnend mit minus 2, da dies die erste ganze Zahl ist, die kleiner als minus 1 ist. Oder in der beschriebenen Form mit L ist die Menge aller x mit der Eigenschaft, dass x kleiner als minus 1 in der Grundmenge Z ist.
Gleichungen und Ungleichungen selbst aufstellen
Wie kann man Gleichungen und Ungleichungen selbst aufstellen? Es müssen Informationen in Beziehung zueinander gesetzt werden, die in mathematischen Zeichen übersetzt uns Gleichungen oder Ungleichungen liefern. Dazu ein Beispiel:
Wissen Sie wie alt die Dame ist? Suchen wir nach einem Zusammenhang. Die Dame sei x Jahre alt. Damit sie so alt ist wie ihr Bruder setzen wir x minus 4, weil sie 4 Jahre älter ist als er, und dieser ist 6 Jahre jünger als die 27jährige Schwester, also 27-6. Und schon haben wir eine Gleichung aufgestellt, die uns das Alter der jungen Frau errechnen lässt. Ihr Alter ist 25 Jahre.