Terme und Termumformungen Bruchterme
Wir haben nun Terme und ihre Umformung kennengelernt. Zum Abschluss betrachten wir noch besondere Terme und ihre Bearbeitung: die Bruchterme. Dazu zunächst ein Beispiel:
3 geteilt durch x oder 2 minus x geteilt durch x plus 2 oder irgendetwas anderes wie zum Beispiel 4 durch Eistüte plus 1 sind Bruchterme.
Keine Bruchterme wären im Vergleich x durch 3 oder Eistüte durch 2.
Bestimmung der Definitionsmenge
Ein Bruchterm liegt dann vor, wenn mindestens einmal eine Variable im Nenner des Bruches auftritt.
Doch der Nenner eines Bruches darf nicht gleich Null sein. Eine Division mit dem Divisor Null ist für uns in der Schulmathematik nicht definiert.
Die Eistüte als Platzhalter können wir auch als ein kleines a oder b oder x schreiben. Aber mit den Nullstellen des Nenners müssen wir uns etwas einfallen lassen. Am einfachsten ist es, wir schließen die Möglichkeiten, bei deren Variablenbelegung der Nenner null würde, einfach aus. Man nennt das die Bestimmung der Definitionsmenge.
Beispiel
Nehmen wir als Beispiel den Term von x mit im Zähler 3 und im Nenner x plus 2 in Klammern mal x minus 1 in Klammern.
x steht als Platzhalter für mögliche Belegungen aus dem Bereich der rationalen Zahlen.
Für welche Belegungen von x wird der Nenner Null? Dazu setzen wir den Nenner in einer Nebenrechnung einfach gleich Null.
Ein Produkt ist gleich Null, wenn ein Faktor gleich Null ist! Wir haben es hier mit zwei Faktoren zu tun. Der erste Faktor wird Null für x gleich minus 2. Der zweite Faktor für x gleich 1.
Diese beiden Werte müssen in der Definitionsmenge D ausgeschlossen werden. Man schreibt Q für die Menge der rationalen Zahlen, dann einen Strich von oben links nach unten rechts mit der Bedeutung "ohne" und dann in der Mengenklammer die auszuschließenden Werte, hier minus 2 und 1.
Das ganze liest sich dann: D ist gleich Q ohne minus 2 und 1.
Rechnen mit Bruchtermen
Jetzt können wir mit unseren Bruchtermen rechnen. Denn wir wissen, dass die ausgeschlossenen Werte nicht verwendet werden dürfen. Sind die Bruchterme nennergleich, so kann man sie addieren und subtrahieren, indem man die Zählerterme unter Beibehaltung des Nenners addiert beziehungsweise subtrahiert.
Beispiel
Ein Term in Abhängigkeit von y besteht aus drei Bruchtermen, die addiert und subtrahiert werden sollen. Da sie nennergleich sind, kann man sie zu einem Bruchterm zusammenfassen. Die Zähler dürfen addiert beziehungsweise subtrahiert werden und es ergibt sich der vereinfachte Bruchterm, da 1 plus 3 minus 4 Null ist, y durch y-1 mit der Definitionsmenge D ist Q ohne 1.
Nicht nennergleiche Bruchterme
Sind die Nenner ungleich, muss man sie nennergleich machen. Das geschieht über Erweitern und Kürzen, wie Sie es bereits in der einfachen Bruchrechnung gelernt haben.
Beispiel
Es sollen die Terme Term 1 von x mit 2 durch x und Term 2 von x mit 2x+3 durch x-1 voneinander subtrahiert werden, sodass ein neuer Term Term 3 von x entsteht.
Bevor wir mit der Suche nach einem gemeinsamen Nenner beginnen, müssen wir in der Definitionsmenge die Werte ausschließen, für die die einzelnen Bruchterme im Nenner Null werden können. Wird für die Variable keine Menge angegeben, so gilt stets die momentan größte Zahlenmenge als Grundmenge. Für uns ist dies noch die Menge der rationalen Zahlen Q.
Somit ist die Definitionsmenge D gleich Q ohne O, da für x Null eingesetzt der Nenner im Term 1 von x Null werden würde, und ohne 1, da für x gleich 1 der Nenner im Term 2 von x den Wert Null hätte.
Und jetzt suchen wir den gemeinsamen Nenner. In Ihrer Schulzeit haben Sie kleinstes gemeinsames Vielfaches der Teilnenner, kurz kg V, dazu gesagt.
In unserer Angabe x mal x minus 1 in Klammern. Über Erweiterung mit dem jeweils fehlenden Faktor erhalten wir dann Term 3 von x gleich zweimal der Nenner x mal x minus 1 in Klammern mit den Zählern 2 mal x-1 in Klammern und x mal 2x plus 3 in Klammern. Ab hier geht es dann über normale Termumformungen mittels der Klapps-Regel weiter.
Multiplikation und Division von Bruchtermen
Nach der Bestimmung der Definitionsmenge werden Bruchterme miteinander multipliziert, indem man Nenner mit Nenner und Zähler mit Zähler unter Berücksichtigung der bekannten Rechen- und Vorzeichenregeln multipliziert. Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Bei der Bestimmung der Definitionsmenge muss man aufpassen, denn bei der Kehrwertbildung wird der Nenner zum Zähler und umgekehrt. Es ändert sich dadurch in der Regel die Definitionsmenge.