9. Quadratische Funktionen 9.5. Parabeln mit anderen a-Werten
Wir haben uns bisher nur mit Normalparabeln beschäftigt, also mit Parabeln der gleichen Form, denn in "y = a · x hoch 2" war die Formvariable a bisher immer 1. Doch was geschieht, wenn a nicht gleich 1 ist?
Dazu einige Beispiele:
Neben unserer Normalparabel "y = a · x2", bei der a = 1 ist, betrachten wir noch die Funktionsgleichungen "y = 2 · x2" für a = 2 und "y = 1,5 x2" für a = 0,5 (alle Graphen in der Grundmenge R kreuz R).
Wie man die Wertetabellen bildet, ist Ihnen bekannt. Durch Einsetzen von x-Werten in die Funktionsgleichung ergeben sich die dazugehörigen y-Werte. Für unsere sechs Funktionsgleichungen sieht das dann folgendermaßen aus:
Grafische Darstellung
In der Tabelle können Sie schon erkennen, dass für negative a-Werte auch negative y-Werte entstanden sind. Weiter verändern sich die Tabellenwerte adäquat zum Faktor a. Die grafische Darstellung zeigt die Veränderungen schön auf. Ausgehend von der Normalparabel "y = x2" ergibt sich für "y = 2 · x2" eine Parabel mit verdoppelten y-Werten. Die Parabel hat nicht mehr die Form der Normalparabel, sondern ist gestreckt. Für a = 0,5 bekommen wir eine flachere, eine gestauchte Parabel. Für die negativen a-Werte sind die Parabeln nicht mehr nach oben, sondern nach unten geöffnet. Die Graphen entstehen durch Spiegelung des Graphen mit a Betrag an der x-Achse. Und für a = -1 erhalten wir eine nach unten geöffnete Normalparabel.
Fazit: Formfaktor
Bei unterschiedlichem Faktor a ändert sich die Form der Parabel. Die Variable a ist daher der Formfaktor der Parabel.
Zusammenfassung
Nebenstehende Tabelle zeigt eine Zusammenfassung in Tabellenform: Für a > als 1 erhalten wir Parabeln, die nach oben geöffnet sind und steiler verlaufen als die Normalparabel.
Für a = 1 haben wir eine Normalparabel. Für a-Werte zwischen 0 und 1 gibt es nach oben geöffnete Parabeln, die flacher als die Normalparabel verlaufen.
Für a = 0, der Wert wurde ja ausgeschlossen, gibt es keine Parabel. Und für die a-Werte < 0 ergeben sich nach unten geöffnete Parabeln, deren Form man uch durch Spiegelungen der entsprechenden positiven a-Werte an der x-Achse erhält.