9. Quadratische Funktionen 9.3. Graphen quadratischer Funktionen
Wir erweitern nun die Wertetabelle um weitere Funktionen. Was passiert dann mit der Normalparabel? Lässt sie sich auf der y-Achse verschieben?
Der Graph, den wir gerade gezeichnet haben, ist charakteristisch für quadratische Funktionen. Alle Graphen quadratischer Funktionen sind symmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse. Und die grafische Darstellung quadratischer Funktionen im kartesischen Koordinatensystem ergibt immer einen Parabelbogen, eine Beispiel dazu finden Sie in der nebenstehenden Grafik.
Weiter ist der Schnittpunkt der Parabel mit ihrer Symmetrieachse stets der Scheitelpunkt der selben. In unserem Fall war es der tiefste Punkt des Parabelbogens - ein extremer Wert sozusagen.
Geraden, also die grafische Darstellung von linearen Funktionen, können wir in der Form y ist gleich m mal x plus t ohne Anfertigung einer Wertetabelle direkt einzeichnen. Es wäre schön, wenn dies bei Parabeln auch möglich wäre. Wir bräuchten dazu eine besondere Darstellung der quadratischen Funktion, die den Scheitelpunkt, also die Lage der Parabel, und die Form der Parabel direkt ablesen lässt.
Behalten wir mal die Belegung eins für die Formvariable a bei und zeichnen Parabeln der Form y = x 2 + eine beliebige konstante Zahl.
Erweiterung der Wertetabelle
Wertetabelle - klicken Sie bitte auf die Lupe
Die Wertetabelle mit der bekannten Funktion "y = x2" wird nun um die Funktionen "y = x2 - 3" und "y = x2 + 2" erweitert. Für den Term x2 - 3 ergeben sich bei Belegung der Variablen x die Termwerte -32 = 9 - 3 = 6, und nach gleicher Rechnung 1, -2, -3, -2, 1 und 6 (siehe nebenstehende Tabelle - klicken Sie bitte auf die Lupe).
Für die Belegung im Term x 2 + 2 lauten die Termwerte 11, 6, 3, 2, 3, 6 und 11.
Grafisch dargestellt ergeben sich Parabelbögen, wie links zu sehen ist. Es handelt sich um Normalparabeln mit den Scheiteln (0;0), (0;-3) und (0;2). Es sind also Parabeln der gleichen Form, die auf der y-Achse verschoben sind. Und zwar genau um den Wert, der als Zahlenwert hinter dem x2 des Funktionsterms steht.
Fazit: Die Parabel mit der Gleichung "y = x 2 - 3" ist gegenüber der Parabel "y = x 2" in y-Achsenrichtung um -3 verschoben, also 3 nach unten. Die Parabel mit der Gleichung "y = x2 + 2" ist um 2 nach oben beziehungsweise 2 in y-Achsenrichtung verschoben. Somit gibt die Zahl hinter dem x2 direkt die y-Koordinate des Scheitelpunktes an.
Allgemein gilt:
Quadratische Funktionen der Form "y = x2 + ys" sind nach oben geöffnete Normalparabeln mit den Scheitelkoordinaten 0 und ys · ys steht für die y-Koordinate des Scheitelpunktes.
Hat ys einen negativen Wert, wird die Normalparabel in y-Achsenrichtung nach unten verschoben. Ist ys positiv, wird sie in y-Achsenrichtung nach oben verschoben.
Aber kann man die Normalparabel auch in x-Achsenrichtung verschieben? Das wollen wir gleich mal untersuchen.