10. Schnittmengen von Funktionen 10.6. Schnittpunkt zweier Parabeln
Auch zwei Parabelgleichungen bilden ein Gleichungssystem. Der Ansatz ist der gleiche wie bei Parabel und Gerade. Er führt zur Lösung einer quadratischen Gleichung.
Auch hier ist es möglich, dass es zwei, ein oder kein Ergebnis gibt, also dass sich die Parabeln in zwei Punkten schneiden, in einem Punkt berühren oder überhaupt nicht treffen.
Die drei Fälle
Wie untenstehende Grafik zeigt (klicken Sie bitte auf die Lupe!), gibt es drei Fälle:
Die drei Fälle - klicken Siie bitte auf die Lupe
- Fall 1: die beiden Parabeln schneiden sich in den Punkten P eins und P zwei.
- Fall 2: die beiden Parabeln haben einen Berührpunkt gemeinsam.
- Fall 3: die beiden Parabeln gehen aneinander vorbei, sie weisen keinen gemeinsamen Punkt auf.
Algebraisch lassen sich die drei Fälle wieder über die Diskriminante bei der Lösung der quadratischen Gleichung ermitteln.
Spezialfall: Parabeln mit einem Schnittpunkt
Parabeln mit einem Schnittpunkt
Die beiden Parabelgleichungen können beispielsweise lauten: "p1 mit y = x2 + 4x + 7" und "p2 mit y = x2 - 2x + 3".
Die grafische Darstellung zeigt deutlich, dass es nur einen gemeinsamen Punkt gibt, der aber kein Berührpunkt ist.
Das Ergebnis nach dem Gleichsetzverfahren sehen Sie im Popup nebenstehender Grafik (Klicken Sie bitte auf die Lupe!). Lineare Gleichungen haben maximal ein Lösungselement - hier: minus zwei Drittel.
Zusammenfassend gilt: Führt der algebraische Weg auf eine lineare Gleichung, so schneiden sich die Parabeln in einem Punkt. Entfallen auch noch die x-Glieder auf dem Lösungsweg, so gibt es keine gemeinsamen Punkte.
Schnittpunkte von Parabeln mit Koordinatenachsen
Hier interessiert die Frage, wo Parabeln die Koordinatenachsen kreuzen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist relativ einfach zu ermitteln, da ja alle Punkte auf der y-Achse den x-Wert Null haben. Somit wird in die Funktionsgleichung der Parabel für x Null eingesetzt.
Doch auch die Schnittpunkte mit der x-Achse sind nicht besonders schwer zu ermitteln, wenn man sich für die x-Achse die Funktionsgleichung "y = 0" vorstellt. Denn dann geht alles wie bei der Schnittpunktbestimmung zwischen Gerade und Parabel - nämlich über die Lösungsformel von quadratischen Gleichungen.